Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

a) 3x$^{2}$ + 7x = 0

x(3x + 7) = 0

x = 0 hoặc 3x + 7 = 0

x = 0 hoặc $x = - \frac{7}{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và $x = - \frac{7}{3}.$

b) $\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{{15}} = 0$

$\frac{2}{3}{x^2} = \frac{4}{{15}}$

$${x^2} = \frac{4}{{15}}:\frac{2}{3}$$

${x^2} = \frac{4}{{15}} \cdot \frac{3}{2}$

$${x^2} = \frac{2}{5}$$

$x = \sqrt {\frac{2}{5}}$ hoặc $x = - \sqrt {\frac{2}{5}}$

$x = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ hoặc $x = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ và $x = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}.$

c) y$^{2}$ – 6y + 8 = 0

y$^{2}$ – 4y – 2y + 8 = 0

y(y – 4) – 2(y – 4) = 0

(y – 4)(y – 2) = 0

y ‒ 4 = 0 hoặc y ‒ 2 = 0

y = 4 hoặc y = 2.

Vậy phương trình có hai nghiệm là y = 4 và y = 2.

d) (x – 2)$^{2}$ = (x – 2)(3x + 5)

(x – 2)$^{2}$ – (x – 2)(3x + 5) = 0

(x ‒ 2)(x ‒ 2 ‒ 3x ‒ 5) = 0

(x – 2)(–2x – 7) = 0

x ‒ 2 = 0 hoặc ‒2x ‒ 7 = 0

x = 2 hoặc $x = - \frac{7}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và $x = - \frac{7}{2}.$

a) 2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0

Ta có: a = 2, b = ‒5, c = 2, ∆ = (‒5)$^{2}$ ‒ 4.2.2 = 25 ‒ 16 = 9 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 + 3}}{4} = \frac{8}{4} = 2;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 - 3}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

b) – x$^{2}$ + 11x – 30 = 0

Ta có: a = ‒1, b = 11, c = ‒30, ∆ = 11$^{2}$ ‒ 4.(‒1).(‒30) = 121 ‒ 120 = 1 > 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt 1 }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 11 + 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 10}}{{ - 2}} = 5;$$

$${x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt 1 }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 11 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 12}}{{ - 2}} = 6.$$

c) 5x$^{2}$ – 7x – 6 = 0

Ta có: a = 5, b = ‒7, c = ‒6, ∆ = (‒7)$^{2}$ ‒ 4.5.(‒6) = 49 + 120 = 169 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {169} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{7 + 13}}{{10}} = \frac{{20}}{{10}} = 2;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {169} }}{{2 \cdot 5}} = \frac{{7 - 13}}{{10}} = \frac{{ - 6}}{{10}} = - \frac{3}{5}.$$

d) $5{x^2}--2\sqrt 5 x + 1 = 0$

Ta có: a = 5, $b = - 2\sqrt 5 ,$ c = 1, $\Delta = {\left( { - 2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20 - 20 = 0.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép là

${x_1} = {x_2} = \frac{{ - \left( { - 2\sqrt 5 } \right)}}{{2 \cdot 5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.$

e) $\frac{1}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x = \frac{1}{2}$

x$^{2}$ + 2x ‒ 8 = 0.

Ta có a = 1, b = 2, c = ‒8, ∆ = 2$^{2}$ ‒ 4.1.(‒8) = 4 + 32 = 36 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 + 6}}{2} = \frac{4}{2} = 2;$$

$${x_2} = \frac{{ - 2 - \sqrt {36} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2 - 6}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.$$

g) ${x^2} - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)x - \sqrt {10} = 0.$

Ta có $a = 1,\,\,b = - \sqrt 5 + \sqrt 2 ,\,\,c = - \sqrt {10} ,$

$$\Delta = {\left[ { - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - \sqrt {10} } \right)$$

$$= 5 - 2\sqrt {10} + 2 + 4\sqrt {10}$$

$$= 5 + 2\sqrt {10} + 2 = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)^2} > 0.$$

Nên $\sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right| = \sqrt 5 + \sqrt 2 .$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 2 + \sqrt 5 + \sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 ;$$

$${x_1} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 2 - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{2} = - \sqrt 2 .$$

a) (x – 1)(2x + 3) = x$^{2}$ + x

2x$^{2}$ + 3x ‒ 2x ‒ 3 = x$^{2}$ + x

2x$^{2}$ + 3x ‒ 2x ‒ 3 ‒ x$^{2}$ ‒ x = 0

x$^{2}$ ‒ 3 = 0

x$^{2}$ = 3

$x = \sqrt 3$ hoặc $x = - \sqrt 3 .$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \sqrt 3$ và $x = - \sqrt 3 .$

b) 4x(3x – 2) – 9x + 6 = 0

12x$^{2}$ ‒ 8x ‒ 9x + 6 = 0

12x$^{2}$ ‒ 17x + 6 = 0

Ta có a = 12, b = ‒17, c = 6, ∆ = (‒17)$^{2}$ ‒ 4.12.6 = 289 ‒ 288 = 1 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 17} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 12}} = \frac{{17 + 1}}{{24}} = \frac{{18}}{{24}} = \frac{3}{4};$

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 17} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 12}} = \frac{{17 - 1}}{{24}} = \frac{{16}}{{24}} = \frac{2}{3}.$

c) (x + 4)$^{2}$ – (2x – 1)(2x + 1) = 14

x$^{2}$ + 8x + 16 ‒ (4x$^{2}$ ‒ 1) ‒ 14 = 0

x$^{2}$ + 8x + 16 ‒ 4x$^{2}$ + 1 ‒ 14 = 0

‒3x$^{2}$ + 8x + 3 = 0

Ta có a = ‒3, b’ = 4, c = 3, ∆’ = 4$^{2}$ ‒ (‒3).3 = 16 + 9 = 25 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{{ - 3}} = \frac{{ - 4 + 5}}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 3}} = - \frac{1}{3};$$

$${x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{{ - 3}} = \frac{{ - 4 - 5}}{{ - 3}} = \frac{{ - 9}}{{ - 3}} = 3.$$

d) (x + 3)(x + 4) – 4x = 20.

x$^{2}$ + 4x + 3x + 12 ‒ 4x – 20 = 0

x$^{2}$ + 3x ‒ 8 = 0

Ta có a = 1, b = 3, c = ‒8, ∆ = 3$^{2}$ ‒ 4.1.(‒8) = 9 + 32 = 41 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2};$ ${x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}.$

Gọi x (km/h) là tốc độ của tàu chở hàng (x > 3).

Tốc độ của tàu khi xuôi dòng là x + 3 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng từ A đến B là $\frac{{40}}{{x + 3}}$ (giờ).

Tốc độ của tàu khi ngược dòng là x – 3 (km/h).

Thời gian tàu đi ngược dòng từ B đến C là $\frac{{40 - 8}}{{x - 3}} = \frac{{32}}{{x - 3}}$ (giờ).

Theo bài, thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian giao hàng là 2 giờ 40 phút = $\frac{8}{3}$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{{40}}{{x + 3}} + \frac{{32}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{{40}}{{x + 3}} + \frac{{32}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}$

$\frac{{40 \cdot 3\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{32 \cdot 3\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{8\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

40.3(x – 3) + 32.3(x + 3) = 8(x + 3)(x – 3)

120x ‒ 360 + 96x + 288 = 8(x$^{2}$ ‒ 9)

216x – 72 = 8x$^{2}$ – 72

8x$^{2}$ ‒ 216x = 0

8x(x ‒ 27) = 0

x = 0 hoặc x ‒ 27 = 0

x = 0 (không thỏa mãn) hoặc x = 27 (thoả mãn).

Vậy tốc độ của tàu chở hàng là 27 km/h.

Gọi x (m) là chiều dài mảnh đất lúc đầu (x > 5).

Chiều rộng của mảnh đất lúc đầu là $\frac{2}{3}x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mảnh đất lúc đầu là: $x \cdot \frac{2}{3}x = \frac{2}{3}{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm là x – 5 (m).

Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm là $\frac{2}{3}x - 5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mảnh đất sau khi giảm là: $\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right){\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mảnh đất còn lại bằng 84% diện tích lúc đầu nên ta có phương trình:

$\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 84\% \cdot \frac{2}{3}{x^2}.$

Giải phương trình:

$\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 84\% \cdot \frac{2}{3}{x^2}$

$\frac{2}{3}{x^2} - 5x - \frac{{10}}{3}x + 25 = \frac{{14}}{{25}}{x^2}$

50x$^{2}$ – 375x – 250x + 1 875 – 42x$^{2}$ = 0

8x$^{2}$ – 625x + 1 875 = 0

Ta có a = 8, b = ‒625, c = 1 875, ∆ = (‒625)$^{2}$ ‒ 4 . 8 . 1 875 = 330 625 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt {330\,\,625} = 575.$

Vậy phương tình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{625 + 575}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{1\,\,200}}{{16}} = 75;$$

$${x_2} = \frac{{625 - 575}}{{2 \cdot 8}} = \frac{{50}}{{16}} = 3{,}125.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 75 thoả mãn điều kiện.

Do đó mảnh đất lúc đầu có chiều dài là 75 m, chiều rộng là $\frac{2}{3} \cdot 75 = 50{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy diện tích mảnh đất lúc đầu là 75.50 = 3 750 m$^{2}$.

Gọi x là số xe được điều đến chở hàng lúc đầu (x ∈ ℤ, x > 3).

Số xe lúc sau là x – 3 (xe).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là $\frac{{67{,}5}}{x}$ (tấn).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc sau là $\frac{{67{,}5}}{{x - 3}}$ (tấn).

Theo bài, mỗi xe còn lại lúc sau phải chở thêm 0,25 tấn so với dự định ban đầu nên ta có phương trình: $\frac{{67{,}5}}{{x - 3}} - \frac{{67{,}5}}{x} = 0{,}25.$

Giải phương trình:

$\frac{{67{,}5}}{{x - 3}} - \frac{{67{,}5}}{x} = 0{,}25$

$\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{0{,}25}}{{67{,}5}}$

$\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{1}{{270}}$

$\frac{{270x}}{{270x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{270\left( {x - 3} \right)}}{{270x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{270x\left( {x - 3} \right)}}$

270x ‒ (270x – 810) = x$^{2}$ ‒ 3x

270x – 270x + 810 = x$^{2}$ ‒ 3x

x$^{2}$ ‒ 3x ‒ 810 = 0

Ta có a = 1, b = ‒3, c = ‒81, ∆ = (‒3)$^{2}$ ‒ 4.1.(‒810) = 9 + 3 240 = 3 249 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {3\,\,249} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3 + 57}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {3\,\,249} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{3 - 57}}{2} = \frac{{ - 54}}{2} = - 27.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 30 thoả mãn điều kiện.

Vậy công ty đã điều 30 xe đến chở hàng.

Gọi x (kg) là khối lượng dung dịch I (0 < x < 600).

Khối lượng dung dịch II là 600 – x (kg).

Nồng độ muối trong dung dịch I là $\frac{6}{x} \cdot 100\,\,\left( \% \right).$

Nồng độ muối trong dung dịch II là $\frac{4}{{600 - x}} \cdot 100\,\,\left( \% \right).$

Theo bài, nồng độ muối trong dung dịch I nhiều hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 2% nên ta có phương trình:

$\frac{6}{x} \cdot 100 - \frac{4}{{600 - x}} \cdot 100 = 2.$

Giải phương trình:

$\frac{6}{x} \cdot 100 - \frac{4}{{600 - x}} \cdot 100 = 2$

$\frac{6}{x} - \frac{4}{{600 - x}} = \frac{2}{{100}}$

$\frac{6}{x} - \frac{4}{{600 - x}} = \frac{1}{{50}}$

$\frac{{6 \cdot 50\left( {600 - x} \right)}}{{50x\left( {600 - x} \right)}} - \frac{{4 \cdot 50x}}{{50x\left( {600 - x} \right)}} = \frac{{x\left( {600 - x} \right)}}{{50x\left( {600 - x} \right)}}$

180 000 – 300x – 200x = 600x – x$^{2}$

x$^{2}$ ‒ 1 100x + 180 000 = 0

Ta có a = 1, b’ = ‒550, c = 180 000, ∆’ = (‒550)$^{2}$ ‒ 1 . 180 000 = 122 500 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 550} \right) + \sqrt {122\,\,500} }}{1} = \frac{{550 + 350}}{1} = 900;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 550} \right) - \sqrt {122\,\,500} }}{1} = \frac{{550 - 350}}{1} = 200.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{2}$ = 200 thoả mãn điều kiện.

Vậy khối lượng dung dịch I là 200 kg, khối lượng dung dịch II là 600 ‒ 200 = 400 kg.

Gọi x (ngày) là thời gian đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng (x > 0).

Thời gian đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội II làm được $\frac{1}{{x + 6}}$ công việc.

Nếu cả hai đội thợ làm việc cùng nhau thì chỉ cần 4 ngày sẽ xong công việc nên trong 1 ngày, cả hai đội làm được $\frac{1}{4}$ công việc.

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}.$

Giải phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}$

$$\frac{{4\left( {x + 6} \right)}}{{4x\left( {x + 6} \right)}} + \frac{{4x}}{{4x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 6} \right)}}{{4x\left( {x + 6} \right)}}$$

4x + 24 + 4x = x$^{2}$ + 6x

x$^{2}$ ‒ 2x ‒ 24 = 0

Ta có a = 1, b’ = ‒1, c = ‒24, ∆’ = (‒1)$^{2}$ ‒ 1.(‒24) = 1 + 24 = 25 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{1} = \frac{{1 + 5}}{1} = 6;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{1} = \frac{{1 - 5}}{1} = - 4.$$

Ta thấy chỉ có giá trị x$_{1}$ = 6 thoả mãn điều kiện.

Vậy nếu làm riêng, đội I sẽ hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội II sẽ hoàn thành công việc trong 6 + 6 = 12 ngày.