Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) có đáp án

a) Với A(–3; 27) ta thay x = ‒3; y = 27 vào hàm số y = ax$^{2}$ ta được:

27 = a.(‒3)$^{2}$ hay 9a = 27, suy ra a = 3.

Vậy y = 3x$^{2}$.

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 12); B (‒1; 3); O(0; 0); C(1; 3); D(2; 12).

• Đồ thị của hàm số y = 3x$^{2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Với B(– 2; – 3) ta thay x = ‒2; y = ‒3 vào hàm số y = ax$^{2}$ ta được:

‒3 = a.(‒2)$^{2}$ hay 4a = ‒ 3, suy ra $a = - \frac{3}{4}.$

Vậy$\;y = - \frac{3}{4}{x^2}$.

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; ‒3); $B\left( { - 1; - \frac{3}{4}} \right);$ O(0; 0); $C\left( {1; - \frac{3}{4}} \right);$ D(2; ‒3).

• Đồ thị của hàm số $y = - \frac{3}{4}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒2; 3); $B\left( { - 1;\frac{3}{4}} \right);$ O(0; 0); $D\left( {1;\frac{3}{4}} \right);$ D(2; 3).

• Đồ thị của hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) • Thay $x = - \frac{2}{3},$ vào hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2},$ ta được:

$$\frac{3}{4} \cdot {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{3} \ne - \frac{1}{3}.$$

Do đó điểm $\left( { - \frac{2}{3};\,\,\frac{1}{3}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2},$ còn điểm $\left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{1}{3}} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}.$

• Thay x = ‒4, vào hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2},$ ta được:

$$\frac{3}{4} \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12.$$

Do đó điểm (‒4; 12) thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}.$

• Thay x = 4, vào hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2},$ ta được:

$$\frac{3}{4} \cdot {4^2} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12 \ne 3.$$

Do đó điểm (4; 3) không thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}.$

Vậy các điểm $\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right);\,\,\left( { - 4;12} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}.$

a) ‒ Vẽ đồ thị hàm số $\left( P \right):y = \frac{3}{2}{x^2}$

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(–2; 6); $B\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right),$ O(0; 0); $B'\left( {1;\,\,\frac{3}{2}} \right),$ A’(2; 6).

• Đồ thị của hàm số $y = \frac{3}{2}{x^2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

‒ Vẽ đường thẳng d: y = 3x.

Đồ thị của hàm số y = 3x là đường thẳng đi qua các điểm O(0; 0) và A’(2; 6).

Đồ thị của hai hàm số $y = \frac{3}{2}{x^2}$ và y = 3x được vẽ như sau:

b) Dựa vào hình vẽ, ta có các giao điểm của (P) và d là O(0; 0) và A’(2; 6).

a) Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A(‒4; ‒8); B (‒2; ‒2); O(0; 0); C(2; ‒2); D(4; ‒8).

• Đồ thị của hàm số $y = - \frac{{{x^2}}}{2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm A và B có hoành độ lần lượt bằng 1 và – 2 nên x$_{A}$ = 1; x$_{B}$ = ‒2.

Thay toạ độ của điểm A(1; y$_{A}$) vào $y = - \frac{{{x^2}}}{2},$ ta được ${y_A} = - \frac{{{1^2}}}{2} = - \frac{1}{2}.$

Do đó $A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right).$

Thay toạ độ của điểm B(‒2; y$_{B}$) vào $y = - \frac{{{x^2}}}{2},$ ta được ${y_B} = - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} = - \frac{4}{2} = - 2.$

Do đó B(– 2; – 2).

Điểm $A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)$ thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay $x = 1,\,\,y = - \frac{1}{2}$ vào hàm số y = ax + b, ta được: $- \frac{1}{2} = a \cdot 1 + b$ hay $a + b = - \frac{1}{2}.$ (1)

Điểm B(–2; –2) thuộc đường thẳng y = ax + b nên thay x = –2, y = –2 vào hàm số y = ax + b, ta được: –2 = a.(–2) + b hay – 2a + b = – 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a + b = - \frac{1}{2}}\\{ - 2a + b = - 2.}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$3a = \frac{3}{2},$ suy ra $a = \frac{1}{2}.$

Thay $a = \frac{1}{2}$ vào phương trình $a + b = - \frac{1}{2},$ ta được:

$\frac{1}{2} + b = - \frac{1}{2},$ suy ra b = –1.

Vậy $a = \frac{1}{2},\;\,\,b = - 1.$

a) Do đồ thị (P) cắt đường thẳng d tại điểm B có hoành độ bằng 1 nên x = 1, thay vào hàm số y = –2x + 4, ta được y = ‒2.1 + 4 = ‒2 + 4 = 2.

Do đó B(1; 2).

Vì B(1; 2) cũng thuộc đồ thị (P): y = ax$^{2}$, nên ta có:

2 = a.1$^{2}$, suy ra a = 2.

Vậy (P): y = 2x$^{2}$.

Ta có bảng giá trị của hàm số:

• Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm M(‒2; 8); N(‒1; 2); O(0; 0); B(1; 2); Q(2; 8).

• Đồ thị của hàm số y = 2x$^{2}$ là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ.

b) Do đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4 nên x = 4

Thay x = 4 vào hàm số y = 2x$^{2}$, ta được: y = 2.4$^{2}$ = 2.16 = 32.

Do đó A(4; 32).

Vì điểm A(4; 32) cũng thuộc d’ nên ta có:

32 = (m + 3).4 – 2

32 = 4m + 12 ‒ 2

4m = 22

$$m = \frac{{11}}{2}.$$

Vậy $m = \frac{{11}}{2}$ thì đường thẳng d’: y = (m + 3)x – 2 cắt đồ thị (P) của hàm số tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Từ Hình 4 ta có A(2; –4) và B(2; –2).

a) ⦁ Do điểm A thuộc đồ thị của hàm số y = ax$^{2}$ nên thay x = 2; y = –4 vào hàm số y = ax$^{2}$, ta được

‒4 = a.2$^{2}$ hay 4a = ‒4, suy ra a = –1.

Do đó (P): y = –x$^{2}$.

⦁ Do điểm B thuộc đồ thị của hàm số y = a’x$^{2}$ nên thay toạ độ điểm x = 2; y = –2 vào hàm số y = a’x$^{2}$, ta được

‒2 = a.2$^{2}$ hay 4a = ‒2, suy ra $a' = - \frac{1}{2}.$

Do đó $\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.$

b) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số (P): y = –x$^{2}$ là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Mà hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua trục tung và A thuộc (P) nên điểm A’ cũng thuộc (P): y = –x$^{2}$.

Cách 2. Điểm A’ đối xứng với điểm A qua trục tung nên ta có A’(–2; –4).

Thay x = –2 vào hàm số y = –x$^{2}$, ta được: y = –(–2)$^{2}$ = –4.

Do đó điểm A’(–2; –4) cũng thuộc (P): y = –x$^{2}$.

c) Cách 1. Ta có: đồ thị hàm số $\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}$ là một parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

Xét điểm M(4; b) và M’(–4; b) là hai điểm có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên M, M’ là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung, mà điểm M(4; b) thuộc đồ thị (P’) nên điểm M’(–4; b) cũng thuộc $\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.$

Cách 2. Do điểm M(4; b) thuộc đồ thị của hàm số $y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2},$ nên thay x = 4; y = b vào hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2},$ ta được

$b = - \frac{1}{2} \cdot {4^2}$ suy ra b = –8.

Do đó M(4; –8) và M’(–4; –8).

Thay x = –4 vào hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2},$ ta được:

$y = - \frac{1}{2} \cdot {\left( { - 4} \right)^2} = - \frac{1}{2} \cdot 16 = - 8.$

Vậy điểm M’(–4; –8) thuộc $\left( {{\rm{P'}}} \right):y = - \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}.$

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng 1,5 m và đáy là hình vuông cạnh x (m) là: V = 1,5x$^{2}$ (m$^{3}$).

b) Khi x = 1 thì V = 1,5.1$^{2}$ = 1,5 (m$^{3}$);

Khi x = 2 thì V = 1,5. 2$^{2}$ = 6 (m$^{3}$);

Khi x = 3 thì V = 1,5.3$^{2}$ = 13,5 (m$^{3}$).

Khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(2x)$^{2}$ = 1,5.4x$^{2}$ = 4.1,5x$^{2}$ = 4V (m$^{3}$).

Khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể là:

V’ = 1,5.(3x)$^{2}$ = 1,5.9x$^{2}$ = 9.1,5x$^{2}$ = 9V (m$^{3}$).

Vậy khi x tăng lên 2 lần thì thể tích của bể tăng lên 4 lần, khi x tăng lên 3 lần thì thể tích của bể tăng lên 9 lần.

Với R = 10 Ω, t = 1 giây ta có: Q = 0,24.10.I$^{2}$.1 = 2,4I$^{2}$ (cal).

a) Thay I = 1 vào hàm số Q = 2,4I$^{2}$, ta được: Q = 2,4.1$^{2}$ = 2,4 (cal).

Thay I = 2 vào hàm số Q = 2,4I$^{2}$, ta được: Q = 2,4.2$^{2}$ = 9,6 (cal).

Thay I = 3 vào hàm số Q = 2,4I$^{2}$, ta được: Q = 2,4.3$^{2}$ = 21,6 (cal).

Thay I = 4 vào hàm số Q = 2,4I$^{2}$, ta được: Q = 2,4.4$^{2}$ = 38,4 (cal).

Ta được bảng giá trị như sau:

b) Với Q = 135 (cal) thay vào hàm số Q = 2,4I$^{2}$, ta được:

2,4I$^{2}$ = 135, suy ra I$^{2}$ = 56,25, do đó I = 7,5 (A) (do I > 0).

Vậy cường độ dòng điện trong dây dẫn bằng 7,5 A khi nhiệt lượng tỏa ra là 135 calo.