Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 4. Góc ở tâm, góc nội tiếp

Do góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó nên các góc ABC, HIK, QRS là góc nội tiếp.

Góc DEG, MNP có đỉnh không nằm trên đường tròn nên không phải góc nội tiếp.

Góc XYZ có cạnh YZ không chứa dây cung của đường tròn nên không phải góc nội tiếp.

Đáp án đúng là: D

Số đo của cung AB được kí hiệu là $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}.$

Do số lớp học cấp trung học cơ sở của tỉnh Kon Tum chiếm 11% tổng số lớp học nên số đo cung tương ứng bằng 11% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế, số đo cung này bằng $360^{\circ}\cdot \frac{11}{100}=39{,}6^{\circ}.$

Tương tự, ta cũng tính được số đo của các cung tương ứng với phần biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của các tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng.

Vậy các cung tương ứng với phần biểu diễn số lớp học cấp trung học cơ sở của các tỉnh Kon Tum, Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông, Lâm Đồng tính đến ngày 30/9/2021 lần lượt có số đo là: 39,6°; 86,4°; 118,8°; 36°; 79,2°.

Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}.$

Ta có:

⦁ số đo cung nhỏ AB gấp hai lần số đo của góc nội tiếp ACB chắn cung đó nên $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}=2\cdot \widehat{ACB}=2\cdot 65^{\circ}=130^{\circ}.$

⦁ số đo cung nhỏ BC gấp hai lần số đo của góc nội tiếp ABC chắn cung đó nên $\text{sđ}\overset{\frown}{BC}=2\cdot \widehat{BAC}=2\cdot 50^{\circ}=100^{\circ}.$

Do đó $\text{sđ}\overset{\frown}{AB}>\text{sđ}\overset{\frown}{BC}.$

Vậy cung nhỏ AB lớn hơn cung nhỏ BC.

Xét đường tròn (O) có $\widehat{BAC}=\widehat{IHK}=90^{\circ}$ nên $\widehat{BAC}$ và $\widehat{IHK}$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra BC và HK là hai đường kính của đường tròn (O).

Khi đó, BC cắt HK tại tâm O của đường tròn.

Vậy qua hai lần sử dụng ê ke, bạn Bình đã giải được câu đố của bạn An.

a) (Hình a) Vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA ⊥ OA và MB ⊥ OB.

Xét tứ giác OAMB có: $\widehat{AOM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM}+\widehat{AOB}=360^{\circ}$

Suy ra $\widehat{AOB}=360^{\circ}-\widehat{AOM}-\widehat{AMB}-\widehat{OBM}=360^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}-90^{\circ}=140^{\circ}.$

Do đó số đo cung nhỏ AB bằng số đo của góc ở tâm AOB, bằng 140° và số đo cung lớn AB bằng 360° ‒ 140° = 220°.

b) (Hình b) Do số đo cung nhỏ AB bằng 120° suy ra $\widehat{AOB}=120^{\circ}.$

Lại có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M nên MA = MB và OM là tia phân giác của góc AOB nên $\widehat{AOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 120^{\circ}=60^{\circ}.$

Do tam giác OAM vuông tại A nên $MA=OA\cdot \tan \widehat{AOM}=R\sqrt{3}.$

Xét ∆OAM và ∆OBM có: OA = OB; MA = MB; OM là cạnh chung

Do đó ∆OAM = ∆OBM (c.c.c) nên S$_{∆OAM}$ = S$_{∆OAM}$

Suy ra S$_{OAMB}$ = S$_{∆OAM}$ + S$_{∆OBM}$ = 2S$_{OAM}$.

Vậy ${S}_{OAMB}=2\cdot (\frac{1}{2}\cdot OA\cdot MA)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}={R}^{2}\sqrt{3}$ (đơn vị diện tích).

Trong đường tròn (O), đường kính AC có $\widehat{ABC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABC}=90^{\circ}.$

Trong đường tròn (O’), đường kính AD có $\widehat{ABD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ABD}=90^{\circ}.$

Xét ∆ABC (vuông tại B) và ABD (vuông tại B) có:

AC = AD = 2R và cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆ABD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BC = BD.

Vậy độ dài dây BC của đường tròn (O) bằng độ dài dây BD của đường tròn (O’).

Xét ∆OAB có nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác, hay OK ⊥ AB. Mà MK ⊥ AB nên ba điểm O, K, M thẳng hàng.

Kẻ đường kính MN của đường tròn (O).

Suy ra điểm O thuộc MN và $AK=BK=\frac{AB}{2}=\frac{40}{2}=20\text{m}.$

Xét ∆AKM và ∆NKB có: $\widehat{AKM}=\widehat{NKB}=90^{\circ};$ $\widehat{MAK}=\widehat{MNB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

Do đó ∆AKM ᔕ ∆NKB (g.g)

Suy ra $\frac{AK}{NK}=\frac{MK}{BK}$ hay $NK=\frac{AK\cdot BK}{MK}=\frac{20\cdot 20}{6}=\frac{200}{3}\text{m}.$

Độ dài đường kính của đường tròn (O) là: $MN=MK+NK=6+\frac{200}{3}=\frac{218}{3}\text{m}.$

Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB là $\frac{218}{3}:2=\frac{109}{3}\approx 36{,}3(\text{m}).$

a) Xét ∆ABH và ∆ADH có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^{\circ};$

BH = HD (do H là trung điểm của BD);

Cạnh AH chung

Do đó ∆ABH = ∆ADH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{A}_{2}}.$

Mà $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{C}_{2}}$ (vì cùng phụ với $\widehat{CAH})$ và $\widehat{{A}_{2}}=\widehat{{C}_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Suy ra $\widehat{{C}_{1}}=\widehat{{C}_{2}}.$

Vậy CH là tia phân giác của góc ACE.

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{{O}_{1}}$ và $\widehat{{C}_{2}}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AH nên $\widehat{{O}_{1}}=2\widehat{{C}_{2}}$

Mà $\widehat{ACE}=2\widehat{{C}_{2}}$ (vì CH là tia phân giác của góc ACE)

Suy ra $\widehat{{O}_{1}}=\widehat{ACE},$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Do đó OH // CE.

a) Trong tam giác AHC có: $\widehat{CAH}+\widehat{ACH}=90^{\circ}$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông)

Suy ra $\widehat{CAH}=180^{\circ}-\widehat{ACH}=180^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}.$

Mà $\widehat{CAE}$ hay chính là $\widehat{CAH}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ CE của đường tròn (O)

Do đó số đo cung nhỏ CE bằng $2\widehat{CAH}=2\cdot 75^{\circ}=150^{\circ}.$

Trong tam giác ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^{\circ}-45^{\circ}-15^{\circ}=120^{\circ}.$

Mà $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn BC của đường tròn (O)

Do đó số đo cung lớn BC bằng $2\widehat{BAC}=2\cdot 120^{\circ}=240^{\circ}.$

b) Trong đường tròn (O), $\widehat{AOC}$ và $\widehat{ABC}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AC nên $\widehat{AOC}=2\widehat{ABC}=2\cdot 45^{\circ}=90^{\circ}.$

Suy ra ∆OAC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AC$^{2}$ = OA$^{2}$ + OC$^{2}$

Do đó $AC=\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}\text{dm}.$

Kẻ OM vuông góc với BC tại M.

Xét ∆OBM (vuông tại M) và ∆OCM (vuông tại M) có:

OB = OC, cạnh OM chung

Do đó ∆OBM = ∆OCM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra BM = CM hay M là trung điểm của BC, suy ra BC = 2CM.

Vì ∆OAC vuông tại O có OA = OC nên ∆OAC vuông cân tại O, suy ra $\widehat{OCA}=45^{\circ}.$

Ta có: $\widehat{OCM}=\widehat{OCA}-\widehat{ACB}=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}.$

Xét ∆OCM vuông tại M có: $CM=OC\cdot \cos \widehat{OCM}=1\cdot \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{dm}.$

Vậy $BC=2CM=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{dm}.$