Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 1. Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Đường tròn (O; 25 cm) có đường kính là 2.25 = 50 cm.

Vì trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên độ dài dây lớn nhất của đường tròn (O; 25 cm) là 50 cm.

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 4 cm, r = 1 cm.

Khi đó, R ‒ r = 4 ‒ 1 = 3 (cm) và R + r = 4 + 1 = 5 (cm).

a) Ta có: 3 < 4,5 < 5 nên R ‒ r < OO’ < R + r.

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) cắt nhau.

b) Do 5 < 6 nên R + r < OO’

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) ở ngoài nhau.

c) Do 3 > 2 nên R ‒ r > OO’

Vậy đường tròn (O; 4 cm) đựng đường tròn (O’; 1 cm).

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 3,5 cm và r = 4,5 cm.

Hai đường tròn (O; 3,5 cm) và (O’; 4,5 cm) tiếp xúc ngoài khi

OO’ = R + r = 3,5 + 4,5 = 8 (cm).

Gọi H là giao điểm của OO’ với AB (hình vẽ).

Ta có OA = OB (bán kính đường tròn tâm O) và O’A = O’B (bán kính đường tròn tâm O’)

Suy ra OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó OO’ ⊥ AB tại trung điểm H của AB.

Đặt OH = x (cm) thì O’H = OO’ – OH = 21 ‒ x (cm).

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA$^{2}$ = AH$^{2}$ + OH$^{2}$, suy ra AH$^{2}$ = OA$^{2}$ ‒ OH$^{2}$.

Xét ∆O’AH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

O’A$^{2}$ = AH$^{2}$ + O’H$^{2}$, suy ra AH$^{2}$ = O’A$^{2}$ ‒ O’H$^{2}$.

Do đó OA$^{2}$ ‒ OH$^{2}$ = O’A$^{2}$ ‒ O’H$^{2}$

Suy ra: 17$^{2}$ ‒ x$^{2}$ = 10$^{2}$ ‒ (21 ‒ x)$^{2}$

289 – x$^{2}$ = 100 – 441 + 42x – x$^{2}$

42x = 630

x = 15 (cm).

Do đó AH$^{2}$ = OA$^{2}$ ‒ OH$^{2}$ = 17$^{2}$ – x$^{2}$ = 17$^{2}$ – 15$^{2}$ = 64.

Suy ra$AH=\sqrt{64}=8\text{cm.}$

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2AH = 2.8 = 16 cm.

Vậy AB = 16 cm.

Tứ giác OAO’B có OA = OB = O’A = O’B (cùng bằng bán kính của (O) và (O’))

Suy ra tứ giác OAO’B là hình thoi.

Do đó hai đường chéo AB và OO’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2 km nên ta có: OA = OB = 2 km = 2 000 m.

Xét ∆OAB có OA = OB (do A, B cùng nằm trên đường tròn tâm O) nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH của ∆OAB đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AB, hay $AH=BH=\frac{AB}{2}.$

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OA$^{2}$ = OH$^{2}$ + AH$^{2}$

Suy ra AH$^{2}$ = OA$^{2}$ – OH$^{2}$ = 2 000$^{2}$ – 1 732$^{2}$ = 1 000 176.

Do đó $AH=\sqrt{1\ 000\ 176}\ \text{m}.$

Vậy $AB=2AH=2\sqrt{1\ 000\ 176}\approx 2\ 000\ m.$

Gọi hòn đảo lớn là đường tròn (O; 500 m) và hòn đảo nhỏ là đường tròn (O’; 300 m). Lấy A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn tâm (O’) là hai vị trí đầu cầu (hình vẽ).

Khi đó, AB là chiều dài cây cầu và OO’ = 950 m, OA = 500 m, O’B = 300 m.

Xét ba điểm O’, A, B, ta có: AB ≥ O’A ‒ O’B.

Xét ba điểm O, O’, A, ta có: O’A ≥ OO’ ‒ OA.

Do đó AB ≥ OO’ ‒ OA ‒ O’B hay AB ≥ 150 m.

Dấu “=“ xảy ra khi bốn điểm O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là 150 m.

a) Do OO’ = OA ‒ O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại A.

b) Xét tam giác ACO, ta có: O’A = O’C = OO’ (bán kính đường tròn tâm O’) hay ${O}^{'}C=\frac{1}{2}AO$

Suy ra tam giác ACO vuông tại C hay OC ⊥ AD.

Xét tam giác OAD có OA = OD (bán kính đường tròn tâm O) nên ∆OAD cân tại O.

Suy ra đường cao OC của tam giác cũng đồng thời là đường trung tuyến, hay C là trung điểm của AD. Do đó AC = CD.

a) Vì A, B ∈ (O; 3 cm) nên OA = OB = 3 cm.

Do đó ∆OAB cân tại O, suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ (1)

Vì A, C ∈ (O’; 2 cm) nên O’A = O’C = 2 cm.

Do đó ∆O’AC cân tại O’, suy ra $\widehat{{O}^{'}AC}=\widehat{{O}^{'}CA}$ (2)

Mà (đối đỉnh) $\widehat{{O}^{'}AC}=\widehat{OAB}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{{O}^{'}CA}$ hay$\widehat{OBC}=\widehat{{O}^{'}CB}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // O’C.

b) Vì OB // O’C nên theo định lí Thalès ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{OA}{{O}^{'}A}$ hay $\frac{5}{AC}=\frac{3}{2}.$

Do đó$AC=\frac{2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3}\ \text{cm}.$

Hệ thống bánh răng ở các hình 8a, 8b chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở Hình 8c không chuyển động được.

Xét hệ thống bánh răng ở Hình 8c.

Khi bánh răng 1 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 2 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ → bánh răng 3 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 4 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ → bánh răng 5 chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Tuy nhiên, khi bánh răng 1 chuyển động theo chiều kim đồng hồ → bánh răng 5 chuyển động ngược chiều kim đồng hồ.

Do vậy hệ thống bánh răng ở Hình 8c không chuyển động được.