Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Tại điểm x$_{0}$ = 1 ta có y$_{0}$ = 2×1$^{2}$ + 3×1 – 1 = 4.

Với x ≠ 1, ta có $\frac{y-4}{x-1}=\frac{2{x}^{2}+3x-1-4}{x-1}$$=\frac{2{x}^{2}+3x-5}{x-1}$$=\frac{(2x+5)(x-1)}{x-1}=2x+5$

Do đó y*'(1) = $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{y-4}{x-1}=$$\underset{x\rightarrow 1}{\lim }(2x+5)=7$ . Vậy y'*(1) = 7.

+ Có f*'*(0) = $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x{(2x-1)}^{2}}{x}$$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }{(2x-1)}^{2}=1$

Vậy f*'*(0) = 1.

+ Có f*'*(1) = $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{x{(2x-1)}^{2}-1}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(x-1){(2x-1)}^{2}+{(2x-1)}^{2}-1}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(x-1){(2x-1)}^{2}+(2x-1-1)(2x-1+1)}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(x-1){(2x-1)}^{2}+4x(x-1)}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{(x-1)[{(2x-1)}^{2}+4x]}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }[{(2x-1)}^{2}+4x]$$=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }(4{x}^{2}+1)=5$

Vậy f*'*(1) = 5.

Ta có f(0) = (0 – 1)$^{2}$ = 1.

Ta có $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{{(x-1)}^{2}-1}{x}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-2x}{x}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }(x-2)=-2$

$\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{1-2x-1}{x}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{-2x}{x}=-2$

Suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-2$

Vậy f*'*(0) = −2.

a) Đặt y = f(x) = ax$^{2}$.

Ta có y*'*(x$_{0}$) = $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{a{x}^{2}-a{x}_{0}^{2}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{a({x}^{2}-{x}_{0}^{2})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{a(x-{x}_{0})(x+{x}_{0})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }[a(x+{x}_{0})]=2a{x}_{0}$

Vậy y*'*(x$_{0}$) = 2ax$_{0}$.

b) Đặt $y=f(x)=\frac{1}{x-1}$

Ta có y*'*(x$_{0}$) = $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\frac{1}{x-1}-\frac{1}{{x}_{0}-1}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\frac{{x}_{0}-1-(x-1)}{(x-1)({x}_{0}-1)}}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\frac{({x}_{0}-x)}{(x-1)({x}_{0}-1)}}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-1}{(x-1)({x}_{0}-1)}$$=\frac{-1}{{({x}_{0}-1)}^{2}}$

Vậy ${y}^{'}({x}_{0})=\frac{-1}{{({x}_{0}-1)}^{2}}$ , x$_{0}$ ≠ 1.

Giả sử M(a; a$^{3}$ + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x$^{3}$ + 1.

Đặt y = f(x) = x$^{3}$ + 1. Có y*'*(a) = $\underset{x\rightarrow a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ $=\underset{x\rightarrow a}{\lim }\frac{{x}^{3}+1-({a}^{3}+1)}{x-a}$$=\underset{x\rightarrow a}{\lim }\frac{{x}^{3}-{a}^{3}}{x-a}$

$=\underset{x\rightarrow a}{\lim }\frac{(x-a)({x}^{2}+ax+{a}^{2})}{x-a}$$=\underset{x\rightarrow a}{\lim }({x}^{2}+ax+{a}^{2})=3{a}^{2}$

Theo đề bài, ta có y*'*(a) = 3 nên 3a$^{2}$ = 3 Û a = 1 hoặc a = −1.

Với a = 1 thì M(1; 2);

Với a = −1 thì M(−1; 0).

Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là tọa độ điểm cần tìm.

Đặt y = f(x) = −3x$^{2}$. Với x$_{0}$ bất kì, ta có:

y*'*(x$_{0}$) = $\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-3{x}^{2}+3{x}_{0}^{2}}{x-{x}_{0}}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-3({x}^{2}-{x}_{0}^{2})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{-3(x-{x}_{0})(x+{x}_{0})}{x-{x}_{0}}$$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }[-3(x+{x}_{0})]=-6{x}_{0}$

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y*'*(x$_{0}$) = −6x$_{0}$ (x = x$_{0}$ là hoành độ tiếp điểm).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x$_{0}$ = 6 Û x$_{0}$ = −1.

Với x$_{0}$ = −1 thì y(−1) = −3.

Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.

Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t$_{0}$ bất kì là

v(t$_{0}$) = s*'*(t$_{0}$) = $\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{s(t)-s({t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{{t}^{3}-4{t}^{2}+4t-({t}_{0}^{3}-4{t}_{0}^{2}+4{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{({t}^{3}-{t}_{0}^{3})-4({t}^{2}-{t}_{0}^{2})+4(t-{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{(t-{t}_{0})({t}^{2}+t{t}_{0}+{t}_{0}^{2})-4(t-{t}_{0})(t+{t}_{0})+4(t-{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{(t-{t}_{0})[{t}^{2}+t{t}_{0}+{t}_{0}^{2}-4(t+{t}_{0})+4]}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }[{t}^{2}+t{t}_{0}+{t}_{0}^{2}-4(t+{t}_{0})+4]$$=3{t}_{0}^{2}-8{t}_{0}+4$

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×3$^{2}$ − 8×3 + 4 = 7 m/s.

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×5$^{2}$ − 8×5 + 4 = 39 m/s.