Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 10: Tứ giác có đáp án

Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°, nên:

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn 90° thì tổng của chúng bé hơn 360°, điều này vô lí.

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn 90° thì tổng của chúng lớn hơn 360°, điều này vô lí.

Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh AB < AD + BC + CD và các trường hợp còn lại tương tự.

Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.

Vậy AB < AD + BC + CD.

Tương tự ta cũng có:

BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là P$_{ABCD}$ = AB + BC + CD + DA.

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P$_{ABCD}$ (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P$_{ABCD}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P$_{ABCD}$, do đó AC + BD < P$_{ABCD}$.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = P$_{ABCD}$

Tức là $AC+BD\ >\frac{1}{2}{P}_{ABCD}.$

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra ${\widehat{A}}_{2}={\widehat{C}}_{2}$

Xét ∆BAC có: ${\widehat{A}}_{2}+{\widehat{C}}_{2}+\widehat{B}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{A}={\widehat{C}}_{2}=\frac{180^{\circ}-\widehat{B}}{2}=\frac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}.$

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{C}}_{1}$

Xét ∆ADC có: ${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+\widehat{D}=180^{\circ}$

Do đó ${\widehat{A}}_{1}=\widehat{C}=\frac{180^{\circ}-\widehat{D}}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}.$

Ta có: $\widehat{A}={\widehat{A}}_{1}+{\widehat{A}}_{2}=40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ};$

$\widehat{C}={\widehat{C}}_{1}+{\widehat{C}}_{2}=40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ}.$

Vậy tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{C}=70^{\circ}.$

a)

Do góc ngoài và góc tại đỉnh đó là 2 góc kề bù nên tổng bằng 180°.

Xét tứ giác ABCD (hình vẽ) có:

${\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}=360^{\circ};$

Góc ngoài tại đỉnh A là ${\widehat{A}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh B là ${\widehat{B}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{B}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh C là ${\widehat{C}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{C}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh D là ${\widehat{D}}_{2}=180^{\circ}-{\widehat{D}}_{1}.$

Tổng 4 góc ngoài của tứ giác ABCD là:

${\widehat{A}}_{2}+{\widehat{B}}_{2}+{\widehat{C}}_{2}+{\widehat{D}}_{2}$
$=(180^{\circ}-{\widehat{A}}_{1})+(180^{\circ}-{\widehat{B}}_{1})+(180^{\circ}-{\widehat{C}}_{1})+(180^{\circ}-{\widehat{D}}_{1})$
$=4\cdot 180^{\circ}-({\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1}+{\widehat{D}}_{1})$
$=2\cdot 360^{\circ}-360^{\circ}=360^{\circ}.$

b)

Tương tự, với tam giác ABC, ta có tổng các góc ngoài là:

${\widehat{A}}_{2}+{\widehat{B}}_{2}+{\widehat{C}}_{2}$
$=(180^{\circ}-{\widehat{A}}_{1})+(180^{\circ}-{\widehat{B}}_{1})+(180^{\circ}-{\widehat{C}}_{1})$
$=3\cdot 180^{\circ}-({\widehat{A}}_{1}+{\widehat{B}}_{1}+{\widehat{C}}_{1})$
$=3\cdot 180^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}.$