Giải SBT Toán 8 CTST Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án

Ta có AD là phân giác của $\widehat {BAC}$ trong ∆ABC, suy ra $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Suy ra $\frac{{15}}{{20}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ hay $\frac{{AB}}{{15}} = \frac{{AC}}{{20}}$.

Suy ra $\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{225 + 400}} = \frac{{B{C^2}}}{{625}}$ (áp dụng định lí Pythagore trong ∆ABC vuông).

Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35 (cm).

Nên $\frac{{A{B^2}}}{{225}} = \frac{{A{C^2}}}{{400}} = \frac{{{{35}^2}}}{{625}} = \frac{{49}}{{25}}$.

Suy ra AB$^{2}$ $= \frac{{49.225}}{{25}}$ = 441 và AC$^{2}$$= \frac{{49.400}}{{25}}$ = 784.

Vậy AB = 21 cm; AC = 28 cm.

• Vì AD là phân giác của $\widehat {BAC}$ trong ∆ABC nên ta có

$\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$$= \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{DB}}{2} = \frac{{DC}}{3} = \frac{{DB + DC}}{{2 + 3}} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Suy ra $\frac{{DB}}{2} = 2$và $\frac{{DC}}{3} = 2$.

Do đó DB = 4 cm; DC = 6 cm.

• Vì AE là phân giác ngoài tại đỉnh A của ∆ABC nên ta có

$\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{EC}}{3} = \frac{{EB}}{2} = \frac{{EC - EB}}{{3 - 2}} = \frac{{BC}}{1} = 10$.

Do đó $\frac{{EB}}{2} = 10$ suy ra EB = 20 cm.

Vậy DB = 4 cm, DC = 6 cm, EB = 20 cm.

• Vì BI là phân giác của $\widehat {ABC}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{BD}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{IA}}{{AB}} = \frac{{ID}}{{BD}} = \frac{{IA + ID}}{{AB + BD}} = \frac{{AD}}{{AB + BD}}$ suy ra $\frac{{ID}}{{AD}} = \frac{{BD}}{{AB + BD}}$ (1)

• Vì CI là phân giác của $\widehat {ACB}$ trong ∆ABC nên ta có $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{CA}}{{CD}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{IA}}{{CA}} = \frac{{DI}}{{CD}} = \frac{{IA + ID}}{{CA + CD}} = \frac{{DA}}{{CA + CD}}$ suy ra $\frac{{DI}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{BD}}{{AB + BD}} = \frac{{CD}}{{CA + CD}}$$= \frac{{BD + CD}}{{AB + BD + CA + CD}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}$.

Tượng tự câu a) ta có: $\frac{{EI}}{{EB}} = \frac{{CA}}{{AB + BC + CA}}$và $\frac{{FI}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AB + BC + CA}}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{DI}}{{DA}} + \frac{{EI}}{{EB}} + \frac{{FI}}{{FC}} =$$\frac{{BC}}{{AB + BC + CA}}$+ $\frac{{CA}}{{AB + BC + CA}}$+ $\frac{{AB}}{{AB + BC + CA}}$

$= \frac{{AB + BC + CA}}{{AB + BC + CA}} = 1$.

Gọi G là giao điểm của AC và BD.

• Vì DN là phân giác của $\widehat {ADC}$ trong ∆ADC nên $\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DC}}$.

• Vì AM là phân giác của $\widehat {BAD}$ trong ∆ABD nên $\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{AD}}{{AB}}$= $\frac{{AD}}{{DC}}$ (vì AB = DC).

Suy ra $\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{NA}}{{NC}}$.

Do đó $\frac{{NA}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{MB}} = \frac{{NA + NC}}{{MD + MB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AG}}{{DG}}$ (AC = 2AG; BD = 2BG)

Khi đó $\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}$.

Xét ∆AGD có $\frac{{NA}}{{AG}} = \frac{{MD}}{{DG}}$nên theo định lí Thalès đảo, ta có MN // AD.

Vì BD là phân giác của $\widehat {ABC}$ trong ∆ABC nên $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{15}}{{10}} = \frac{3}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{DA + DC}}{{3 + 2}} = \frac{{AC}}{5}$.

Mà ∆ABC cân ở A nên AC = AB = 15 cm.

Suy ra $\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{2} = \frac{{15}}{5} = 3$.

Do đó DA = 3.3 = 9 (cm) và DC = 3.2 = 6 (cm).

Vậy DA = 9 cm, DC = 6 cm.

Vì MD là phân giác của $\widehat {AMB}$ trong ∆ABM nên $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$.

Vì ME là phân giác của $\widehat {AMC}$ trong ∆ABC nên $\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}}$.

Mà MB = MC, suy ra $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$.

Xét ∆ABC có $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$ nên theo định lí Thalès đảo, ta có DE // BC.

Theo hệ quả của định lí Thalès:

• Xét ∆ABM có DI // MB (vì I ∈ DE, M ∈ BC), ta có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{DI}}{{MB}}$.

• Xét ∆ACM có EI // MC, ta có $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{IE}}{{MC}}$.

Suy ra $\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{DI}}{{MB}}$, mà MC = MB, suy ra IE = DI.

Vậy I là trung điểm của DE.