Giải SBT Toán 8 CTST Bài 3. Hình thang cân có đáp án

Tứ giác ABCD có tổng 4 góc bằng 360° nên $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$

Mà $\widehat{A}+\widehat{D}=\widehat{B}+\widehat{C}.$

Do đó $2\cdot (\widehat{A}+\widehat{D})=360^{\circ}$ hay $\widehat{A}+\widehat{D}=180^{\circ}$.

Suy ra AB // CD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Ta có ∆ABC vuông cân tại A, ∆BCD vuông cân tại B suy ra $\widehat{{B}_{1}}=\widehat{{C}_{1}}=45^{\circ}.$

Vì $\widehat{{B}_{1}}$ và $\widehat{{C}_{1}}$ là hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy tứ giác ABDC là hình thang.

Hình thang ABDC có $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên ABDC là hình thang vuông.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆ECD, ta có ${\widehat{C}}_{1}=\widehat{{D}_{1}}$ nên ∆ECD cân tại E, suy ra EC = ED. (1)

Ta có: AB // CD nên

⦁ $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{{D}_{1}}$ (hai góc so le trong);

⦁ $\widehat{\text{EAB}}=\widehat{{C}_{1}}$ (hai góc so le trong);

⦁ ${\widehat{C}}_{1}=\widehat{{D}_{1}}$ (giả thiết).

Suy ra $\widehat{\text{EBA}}=\widehat{\text{EAB}}$, do đó ∆BEA cân tại E.

Nên AE = BE. (2)

Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD.

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Xét ∆AMN có AM = AN (giả thiết).

Do đó ∆AMN cân tại A, suy ra $\widehat{{M}_{1}}=\frac{180^{\circ}-\widehat{{A}_{2}}}{2}.$

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{{B}_{1}}=\frac{180^{\circ}-\widehat{{A}_{1}}}{2}.$

Lại có $\widehat{{A}_{1}}=\widehat{{A}_{2}}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{{B}_{1}}=\widehat{{M}_{1}}.$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BC.

Vậy tứ giác MNBC là hình thang. (1)

Mặt khác, AB = AC; AM = AN.

Suy ra AB + AM = AC + AN, do đó MB = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNBC là hình thang cân.

Do BE, CD là hai đường cao nên BE ⊥ AC, CD ⊥ AB.

Xét ∆BEC vuông tại E và ∆CDB vuông tại D, ta có:

BC là cạnh chung; $\widehat{\text{ECB}}=\widehat{\text{DBC}}$ (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆BEC = ∆CDB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra EC = BD (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = AB nên AC ‒ EC = AB ‒ BD, hay AE = AD

Do đó ∆ADE cân tại A suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{AED}}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}.$ (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{ADE}}=\widehat{\text{ABC}}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Suy ra tứ giác BDEC là hình thang.

Hình thang BDEC có $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ nên là hình thang cân.