Giải SBT Toán 8 CTST Bài 2. Tứ giác có đáp án

a) Tứ giác ABCD luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác nên ABCD là tứ giác lồi.

b) Đường thẳng đi qua cạnh của tứ giác MNPQ chia tứ giác thành hai phần nên MNPQ không phải là tứ giác lồi.

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên ta có:

a) x + 47° + 86° + 128° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (47° + 86° + 128°) = 99°.

b) x + 90° + 90° + 67° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (90° + 90° + 67°) = 113°.

c) x + 34° + 146° + 34° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (34° + 146° + 34°) = 146°.

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABD vuông tại A có:

BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ = 4$^{2}$ + 10$^{2}$ = 116

Suy ra $BD=\sqrt{116}.$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = 4$^{2}$ + 7$^{2}$ = 65

Suy ra $AC=\sqrt{65}.$

Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB), mà AD ⊥ AB nên CH // AD

Ta cũng có DC ⊥ AD và AB ⊥ AD nên DC // AB

Suy ra $\widehat{DCA}=\widehat{HAC},\widehat{DAC}=\widehat{HCA}$ (các cặp góc so le trong)

Xét ∆ADC và ∆CHA có:

$\widehat{DCA}=\widehat{HAC},$ cạnh AC chung, $\widehat{DAC}=\widehat{HCA}$

Do đó ∆ADC = ∆CHA (g.c.g)

Suy ra: CD = AH, AD = CH

Mà CD = 7, AD = 4 nên AH = 7, CH = 4

Ta có: BH = AB ‒ AH = 10 ‒ 7 =3.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CBH vuông tại H có:

BC$^{2}$ = CH$^{2}$ + BH$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25

Suy ra $BC=\sqrt{25}=5.$

b) Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác ABCD có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$

Suy ra $\widehat{C}=360^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}-\widehat{D}=360^{\circ}-90^{\circ}-53^{\circ}-90^{\circ}=127^{\circ}.$

Xét ∆KIE và ∆TIE có:

IK = IT, EK = ET, cạnh IE chung

Do đó ∆KIE = ∆TIE (c.c.c), suy ra $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}$ (hai góc tương ứng)

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác KITE ta có:

$\widehat{IKE}+\widehat{KIT}+\widehat{ITE}+\widehat{KET}=360^{\circ}$, mà $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $2\widehat{IKE}+\widehat{KIT}+\widehat{KET}=360^{\circ}$

Do đó $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}=\frac{360^{\circ}-\widehat{KIT}-\widehat{KET}}{2}=\frac{360^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}}{2}=100^{\circ}.$

a) Ta có:

AB = AD (giả thiết), suy ra A thuộc đường trung trực của BD;

CB = CD (giả thiết), suy ra C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b) Xét ∆ABC và ∆ADC, ta có:

AB = AD (giả thiết); BC = DC (giả thiết); AC là cạnh chung.

Suy ra ∆ABC = ∆ADC (c.c.c).

Do đó $\widehat{B}=\widehat{D}$ (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác ABCD, ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}.$

Hay $115^{\circ}+\widehat{B}+65^{\circ}+\widehat{D}=360^{\circ}$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{D}=360^{\circ}-115^{\circ}-65^{\circ}=180^{\circ}.$

Mà $\widehat{B}=\widehat{D}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{B}=\widehat{D}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}.$

Áp dụng định lí Pythagore vào bốn tam giác AIB, BIC, CID, DIA vuông tại I, ta có:

AB$^{2}$ = IA$^{2}$ + IB$^{2}$

BC$^{2}$ = IB$^{2}$ + IC$^{2}$

CD$^{2}$ = IC$^{2}$ + ID$^{2}$

AD$^{2}$ = IA$^{2}$ + ID$^{2}$

Nên AB$^{2}$ + CD$^{2}$ = IA$^{2}$ + IB$^{2}$ + IC$^{2}$ + ID$^{2}$

Hay AB$^{2}$ + CD$^{2}$ = (IB$^{2}$ + IC$^{2}$) + (IA$^{2}$ + ID$^{2}$)

AB$^{2}$ + CD$^{2}$ = BC$^{2}$ + AD$^{2}$

AB$^{2}$ + 24$^{2}$ = 15$^{2}$ + 20$^{2}$

AB$^{2}$ = 225 + 400 – 576 = 49

Suy ra $AB=\sqrt{49}=7$ (cm).

Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

IA + IB > AB (trong tam giác IAB)

IB + IC > BC (trong tam giác IBC)

IC + ID > CD (trong tam giác ICD)

IA + ID > AD (trong tam giác IAD)

Suy ra 2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Vậy $AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$ hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.