Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình vuông có đáp án

• Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra $\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ$.

Do BE // AC suy ra $\widehat {OBF} = \widehat {DOC}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ$ (hai góc so le trong).

Xét ∆DBC vuông tại C có: $\widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {CBD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Xét ∆BCE vuông tại C có: $\widehat {CBE} + \widehat {CEB} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {CBE} = 90^\circ - \widehat {CBE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Do đó $\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ$

Tam giác BDE có: $\widehat {DBE} = \widehat {DBC} + \widehat {CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ và $\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ$

Suy ra tam giác BDE vuông cân tại B nên BD = BE

Tam giác BCE vuông tại C có $\widehat {CBE} = \widehat {CEB} = 45^\circ$, suy ra nên là tam giác vuông cân tại C. Do đó BC = EC

Xét ∆BCF và ∆ECF có:

BC = EC, BF = EF (do F là trung điểm của BE), cạnh CF chung

Do đó ∆BCF = ∆ECF (c.c.c). Suy ra $\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ$.

Tứ giác BOCF có $\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ$ nên BOCF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.

• Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.

Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.

Hình bình hành BDKE có $\widehat {DBE} = 90^\circ$ nên BDKE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.

Tứ giác CDOF có $\widehat {ODC} = 45^\circ$ nên không thể là hình vuông.

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = 90^\circ$

Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các $\widehat {BAD},\widehat {ABC},\widehat {BCD},\widehat {ADC}$

Suy ra $\widehat {DAE} = \widehat {EAB} = \widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {BCF} = \widehat {FCD} = \widehat {CDF} = \widehat {FDA} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ {\rm{.\;}}$

Xét ∆ADG có: $\widehat {ADG} + \widehat {AGD} + \widehat {GAD} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {AGD} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADG} + \widehat {GAD}} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right) = 90^\circ$

Do đó ∆ADG vuông cân tại G

Chứng minh tương tự các tam giác EAB, FCD, HBC đều là tam giác vuông cân.

Xét ∆GAD và ∆HBC có:

$\widehat {GAD} = \widehat {GDA} = \widehat {HBC} = \widehat {HCB} = 45^\circ$, cạnh AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó ∆GAD = ∆HBC (g.c.g).

Suy ra GD = HC (hai cạnh tương ứng).

Mà FD = FC, suy ra FG = FH.

∆GFH có: $\widehat {GFH} = 90^\circ$ và FG = FH

Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F. Suy ra $\widehat {FGH} = 45^\circ$.

Ta có: $\widehat {FGH} = \widehat {CDF} = 45^\circ$ và $\widehat {FGH},\widehat {CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.

Ta có $\widehat {EGF} = \widehat {AGD} = 90^\circ$ (hai góc đối đỉnh).

Tứ giác GFHE có $\widehat {EGF} = \widehat {GFH} = \widehat {HEG} = 90^\circ$ nên GFHE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.

Gọi K là giao điểm của AC và HF.

Do ABEF và ADGH đều là hình vuông nên $\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ$, AF = AB, AH = AD.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = DC

Mà AF = AB nên AF = DC.

Ta có: $\widehat {HAF} + \widehat {FAB} + \widehat {DAB} + \widehat {DAH} = 360^\circ$

Mà $\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ$ nên $\widehat {HAF} + \widehat {DAB} = 360^\circ - \left( {90^\circ + 90^\circ } \right) = 180^\circ$ (1)

Hình bình hành ABCD có AB // DC nên $\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {HAF} = \widehat {ADC}$.

Xét ∆HAF và ∆ADC có:

AH = AD, $\widehat {HAF} = \widehat {ADC}$, AF = DC

Suy ra DHAF = DADC (c.g.c).

Ta có: $\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^\circ$ và $\widehat {DAH} = 90^\circ$ nên $\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^\circ$.

Mà $\widehat {AHF} = \widehat {DAC}$ (vì DHAF = DADC chứng minh câu a), suy ra $\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^\circ$.

Trong tam giác AHK, ta có: $\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {AKH} = 180^\circ - \left( {\widehat {HAK} + \widehat {AHF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Vậy AK ⊥ HK hay AC ⊥ HF.

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $DG = \frac{1}{2}BG$, $EG = \frac{1}{2}CG$.

Mà F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG nên $BF = FG = \frac{1}{2}BG$, $CH = HG = \frac{1}{2}CG$

Do đó DG = BF = FG, EG = CH = HG.

Suy ra, G là trung điểm của FD, G là trung điểm của EH.

Tứ giác EFHD có hai đường chéo EH và DF cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên EFHD là hình bình hành.

Để hình bình hành EFHD là hình vuông thì EH = DF và EH ⊥ DF.

Suy ra BG = CG, EG = DG và BD ⊥ CE.

Xét ∆BEG và ∆CDG có:

BG = CG, $\widehat {EGB} = \widehat {DGC}$(đối đỉnh), EG = DG

Do đó ∆BEG = ∆CDG (c.g.c). Suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) (1)

Mà BD, CE là các đường trung tuyến của ∆ABC nên E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC

Suy ra AB = 2BE, AC = 2CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC

Dễ thấy, nếu AB = AC và BD ⊥ CE thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Vậy tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Do ABCD là hình vuông nên AB = AD, $\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 90^\circ$

Ta có: $\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = 180^\circ$ (2 góc kề bù) nên $\widehat {ABM} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Xét ∆ADE và ∆ABM có:

$\widehat {ADE} = \widehat {ABM} = 90^\circ$, AD = AB, DE = BM

Do đó ∆ADE = ∆ABM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AE = AM (1) và $\widehat {DAE} = \widehat {BAM}$.

Do AF là tia phân giác của $\widehat {BAE}$ nên $\widehat {EAF} = \widehat {BAF}$.

Suy ra $\widehat {DAE} + \widehat {EAF} = \widehat {BAM} + \widehat {BAF}$ hay $\widehat {DAF} = \widehat {MAF}$.

Mà $\widehat {DAF} = \widehat {MFA}$ (hai góc so le trong do AD // BC), suy ra $\widehat {MFA} = \widehat {MAF}$.

Do đó, tam giác MAF cân tại M nên AM = FM (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = AM = FM.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ADE vuông tại D, ta có: AE$^{2}$ = AD$^{2}$ + DE$^{2}$

Suy ra AE$^{2}$ = 12$^{2}$ + 5$^{2}$ = 144 + 25 = 169

Do đó AE = 13 cm.

Mà FM = AE, suy ra FM = 13 cm.

Ta có: FM = BM + BF.

Mà BM = DE = 5 cm và FM = 13 cm

Suy ra BF = FM – BM = 13 ‒ 5 = 8 cm.

Do ABCD là hình vuông nên AB = AD, $\widehat {ADE} = \widehat {ABC} = \widehat {BAD} = 90^\circ$

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {ABF} = 180^\circ$ nên $\widehat {ABF} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Xét ∆ADE và ∆ABF có:

$\widehat {ADE} = \widehat {ABF} = 90^\circ$, AD = AB, DE = BF

Do đó ∆ADE = ∆ABF (c.g.c).

Suy ra AE = AF và $\widehat {DAE} = \widehat {BAF}$.

Từ đó ta có $\widehat {DAE} + \widehat {BAE} = \widehat {BAF} + \widehat {BAE}$

Hay $\widehat {BAD} = \widehat {EAF}$. Do đó $\widehat {EAF} = 90^\circ$.

Tam giác AEF có $\widehat {EAF} = 90^\circ$, AE = AF nên tam giác AEF vuông cân tại A.

Do IK = IA nên I là trung điểm của AK.

Tứ giác AEKF có hai đường chéo AK, EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên AEKF là hình bình hành.

Hình bình hành AEKF có $\widehat {EAF} = 90^\circ$ nên AEKF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật AEKF có AE = AF nên AEKF là hình vuông.

Từ điểm F kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng BD tại M.

Do ABCD là hình vuông nên $\widehat {CBD} = \frac{{\widehat {CBA}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$.

Mà $\widehat {FBM} = \widehat {CBD}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\widehat {FBM} = 45^\circ$.

Do MF // CD nên $\widehat {BFM} = \widehat {BCD} = 90^\circ$ (cặp góc so le trong).

Tam giác FBM có $\widehat {BFM} = 90^\circ$ và $\widehat {FBM} = 45^\circ$ nên tam giác FBM vuông cân tại F.

Suy ra MF = BF.

Mà BF = DE, suy ra MF = DE.

Tứ giác DEMF có MF = DE và MF // DE nên DEMF là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của EF, suy ra I là trung điểm của DM.

Vậy I thuộc đường thẳng DM hay I thuộc đường thẳng BD.