Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình chữ nhật có đáp án

a) Sai. Vì hình thang có hai góc vuông có thể là hình chữ nhật hoặc hình thang vuông.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai. Vì tứ giác có 2 góc vuông chưa đủ điều kiện để khẳng định là hình chữ nhật.

Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Suy ra $\widehat {AHC} = 90^\circ$.

Ta có AB ⊥ BC, CD ⊥ BC nên $\widehat {ABC} = \widehat {BCH} = 90^\circ$

Tứ giác ABCH có $\widehat {ABC} = \widehat {BCH} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Suy ra CH = AB = 4 cm.

Ta có: CH + HD = CD

Do đó DH = CD ‒ CH = 7 ‒ 4 = 3 cm.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $ADH$ vuông tại $H$, ta có: AD$^{2}$ = AH$^{2}$ + DH$^{2}$

Suy ra AH$^{2}$ = AD$^{2}$ ‒ DH$^{2}$ = 11$^{2}$ ‒ 3$^{2}$ = 121 – 9 = 112

Do đó $AH = \sqrt {112} {\rm{\;m}}$.

Mà BC = AH (vì ABCH là hình chữ nhật) nên $BC = \sqrt {112} \approx 10{,}6$(m).

Gọi I là giao điểm của AM và EF.

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {ADC} = 90^\circ$

Mà E, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AD

Suy ra ME ⊥ AB, MF ⊥ AD. Do đó $\widehat {AEM} = \widehat {MFA} = 90^\circ$

Tứ giác AEMF có $\widehat {FAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MFA} = 90^\circ$ nên AEMF là hình chữ nhật.

Gọi I là giao điểm của AM và EF.

Do ABCD và AEMF đều là hình chữ nhật nên OA = OB và IA = IE (2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Suy ra tam giác OAB cân tại O và tam giác IAE cân tại I.

Do đó $\widehat {OBA} = \widehat {OAB}$ và $\widehat {IEA} = \widehat {IAE}$ hay $\widehat {OBA} = \widehat {IEA}$.

Mà $\widehat {OBA}$ và $\widehat {IEA}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra BD // EF.

Do GD = GB, GE = GC nên G là trung điểm của BD và CE.

Tứ giác BEDC có hai đường chéo BD và CE cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên BEDC là hình bình hành.

BM, CN là các đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB

Suy ra AM = CM, AN = BN

Lại có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) nên BN = CM

Xét ∆BCM và ∆CBN có:

CM = BN (chứng minh trên), $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$, cạnh BC chung

Do đó ∆BCM = ∆CBN (c.g.c). Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng)

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $BG = \frac{2}{3}BM$ và $CG = \frac{2}{3}CN$.

Do đó BG = CG.

Mà G là trung điểm của BD và CE, suy ra BD = CE.

Hình bình hành BEDC có BD = CE nên BEDC là hình chữ nhật.

Do D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AC nên MD ⊥ AB, ME ⊥ AC.

Suy ra $\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ$

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat {BAC} = 90^\circ$

Tứ giác ADME có $\widehat {DAE} = \widehat {AEM} = \widehat {MDA} = 90^\circ$ nên ADME là hình chữ nhật.

Do ADME là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của DE, suy ra I là trung điểm của AM.

Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.

Do ADME là hình chữ nhật nên DM // AC.

Suy ra $\widehat {BMD} = \widehat {ACB}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ$ (vì tam giác ABC vuông cân tại A), suy ra $\widehat {BMD} = \widehat {ABC} = 45^\circ$.

Do đó tam giác BDM cân tại D. Suy ra BD = DM.

Chu vi của hình chữ nhật ADME là:

2(AD + DM) = 2(AD + BD) = 2AB.

Mà AB không đổi nên chu vi của tứ giác ADME không đổi.

Do ADME là hình chữ nhật nên AM = DE.

Suy ra DE có độ dài nhỏ nhất khi AM có độ dài nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu của A trên đường thẳng BC.

Trong tam giác ABC vuông cân tại A, ta có:

AC = AB = 2 cm và BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 2$^{2}$ + 2$^{2}$ = 8 (định lý Pythagore)

Suy ra $BC = \sqrt 8 {\rm{\;cm}}$.

Xét ∆ABM vuông tại M và ∆ACM vuông tại M có:

Cạnh AM chung, $\widehat {ABM} = \widehat {ACM}$ (do ∆ABC vuông cân tại A)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $BM = CM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 8 }}{2} = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}$.

Tam giác ABM vuông tại M có $\widehat {ABM} = 45^\circ$ nên $\widehat {BAM} = \widehat {ABM} = 45^\circ$.

Suy ra tam giác ABM vuông cân tại M.

Do đó $DE = AM = BM = \sqrt 2 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $DE = \sqrt 2 {\rm{\;cm}}$.