Giải SBT Toán 8 Cánh Diều Hình bình hành có đáp án

Tứ giác ADME có MD // AE, ME // AD nên ADME là hình bình hành.

Suy ra AD = ME và AE = DM.

Do đó chu vi hình bình hành ADME là:

AD + DM + ME + EA = 2(AE + ME).

Do AB = AC nên tam giác ABC cân tại A. Suy ra $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {EMC}$ (hai góc đồng vị do ME // AB), suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {EMC}$.

Do đó, tam giác ECM cân tại E. Suy ra ME = CE.

Vậy chu vi của hình bình hành ADME là:

2(AE + ME) = 2(AE + CE) = 2AC = 6 cm.

Do BD và CE là trung tuyến của ∆ABC

Suy ra, E là trung điểm AB và D là trung điểm AC.

Tứ giác AHBC có E là trung điểm AB và CH nên AHBC là hình bình hành.

Tứ giác ABCK có D là trung điểm AC và BK nên ABCK là hình bình hành.

Do AHBC là hình bình hành nên AH // BC, AH = BC.

Tương tự, AKCB là hình bình hành nên AK // BC, AK = BC.

Suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK.

Vậy A là trung điểm của HK.

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD; $\widehat A = \widehat C$ và $\widehat {ABC} = \widehat {CDA}$.

Mà AE = CF, AE + ED = AD, BF + CF = BC

Suy ra DE = BF.

Tương tự, ta cũng có AM = CN.

Xét ∆AEM và ∆CFN có:

AM = CN, $\widehat A = \widehat C$, AE = CF

Do đó ∆AEM và ∆CFN (c.g.c). Suy ra EM = FN (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BFM và ∆DEN có:

BF = DE, $\widehat {ABC} = \widehat {CDA}$, BM = DN

Do đó ∆BFM = ∆DEN (c.g.c). Suy ra FM = EN.

Tứ giác EMFN có EM = FN và FM = EN nên EMFN là hình bình hành.

Tứ giác BMDN có BM = DN và BM // DN nên BMDN là hình bình hành.

Do ABCD, EMFN, BMDN đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy AC, BD, EF, MN cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Do AM, BN, CP là đường cao của ∆ABC nên AM ⊥ BC, BN ⊥ AC, CP ⊥ AB

Do CP ⊥ AB, BD ⊥ AB nên CP // BD.

Do BN ⊥ AC, CD ⊥ AC nên BN // CD

Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.

Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH.

Mà M thuộc BC, suy ra M là giao điểm của BC và DH.

Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra M là trung điểm BC. Suy ra MB = MC

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

MB = MC, $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ$, cạnh AM chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c). Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Dễ thấy, nếu tam giác ABC có AB = AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

Vậy tam giác ABC cân tại A thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

Xét tứ giác ABDC, ta có: $\widehat {BAC} + \widehat {DBA} + \widehat {ACD} + \widehat {CDB} = 360^\circ$.

Mà $\widehat {DBA} = \widehat {ACD} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = 180^\circ$.

Vậy góc A và góc D của tứ giác ABDC là hai góc bù nhau.

Do H là trung điểm của AM nên $HM = \frac{1}{2}AM$.

Ta có diện tích tam giác ABC bằng: $\frac{1}{2}.AM.BC = HM.BC$.

Xét ∆BCH và ∆CBD có:

BH = CD, BD = HC (do BDCH là hình bình hành), cạnh BC chung

Do đó ∆BCH = ∆CBD (c.c.c)

Suy ra S$_{∆BCH}$ = S$_{∆CBD}$

Nên diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.

Khi đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: $2\left( {\frac{1}{2}.HM.BC} \right) = HM.BC$.

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Do CE = CF nên C là trung điểm của EF;

CP = CQ nên C là trung điểm PQ.

Tứ giác EPFQ có hai đường chéo EF và PQ cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên là hình bình hành.

Gọi H là giao điểm của AC và EP, K là giao điểm của AB và PQ.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, $\widehat B = \widehat D$.

Vì AB // CD nên $\widehat {BKC} = \widehat {DCK} = 90^\circ$ (hai góc so le trong).

Suy ra tam giác BCK vuông tại K. Do đó $\widehat B + \widehat {BCK} = 90^\circ$

Mà $\widehat B = \widehat D$, suy ra $\widehat D + \widehat {BCK} = 90^\circ$.

Mặt khác, ta có $\widehat {ECP} + \widehat {BCK} = \widehat {BCE} = 90^\circ$ nên $\widehat D = \widehat {ECP}$.

Xét ∆ACD và ∆EPC có:

AD = EC (vì cùng bằng BC); $\widehat D = \widehat {ECP}$; CD = PC.

Do đó ∆ACD = ∆EPC (c.g.c).

Suy ra $\widehat {ACD} = \widehat {EPC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {ACD} + \widehat {PCH} = \widehat {DCP} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 90^\circ$.

Xét tam giác CPH, ta có: $\widehat {CHP} + \widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {CHP} + 90^\circ = 180^\circ$ hay $\widehat {CHP} = 90^\circ$.

Vậy $AC \bot EP$.