Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án

Lời giải

a) $25{x^2} - \frac{1}{4} = {\left( {5x} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \left( {5x - \frac{1}{2}} \right)\left( {5x + \frac{1}{2}} \right)$.

b) 36x$^{2}$ + 12xy + y$^{2}$ = (6x)$^{2}$ + 2.6.1.xy + y$^{2}$ = (6x + y)$^{2}$.

c) $\frac{{{x^3}}}{2} + 4 = \frac{1}{2}\left( {{x^3} + {2^3}} \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$.

d) 27y$^{3}$ + 27y$^{2}$ + 9y + 1 = (3y)$^{3}$ + 3.(3y)$^{2}$.1 + 3.3y.1$^{2}$ + 1$^{3}$ = (3y + 1)$^{3}$.

Lời giải

a) x$^{3}$(13xy ‒ 5) ‒ y$^{3}$(5 ‒ 13xy)

= x$^{3}$(13xy ‒ 5) + y$^{3}$(13xy ‒ 5)

= (13xy ‒ 5)(x$^{3}$ + y$^{3}$)

= (13xy ‒ 5)(x + y)(x$^{2}$ ‒ xy + y$^{2}$).

b) 8x$^{3}$yz + 12x$^{2}$yz + 6xyz + yz

= yz(8x$^{3}$ + 12x$^{2}$+ 6x + 1)

= yz[(2x)$^{3}$ + 3.(2x)$^{2}$.1 + 3.2x.1$^{2}$ + 1$^{3}$)]

= yx(2x + 1)$^{3}$.

Lời giải

a) Ta có: $A = {x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4} = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2}$.

Thay $x + \frac{y}{2} = 100$ vào biểu thức trên ta có: A = 100$^{2}$ = 10 000.

b) Ta có: B = 25x$^{2}$z ‒ 10xyz + y$^{2}$z

= z(25x$^{2}$ ‒ 10xy + y$^{2}$)

= z[(5x)$^{2}$ ‒ 2.5x.y + y$^{2}$)]

= z(5x ‒ y)$^{2}$.

Thay 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5 vào biểu thức trên ta có:

B = ‒5.(‒20)$^{2}$ = –5.400 = ‒2 000.

c) Ta có: C = x$^{3}$yz + 3x$^{2}$y$^{2}$z + 3xy$^{3}$z + y$^{4}$z

= yz(x$^{3}$ + 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ + y$^{3}$)

= yz(x + y)$^{3}$.

Thay x + y = ‒0,5 và yz = 8 vào biểu thức trên ta có:

$$C = 8.{\left( { - 0{,}5} \right)^3} = 8.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} = 8.\left( { - \frac{1}{8}} \right) = - 1.$$

Lời giải

Trước hết, ta chứng minh (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

Ta có: x$^{5}$ ‒ x = x(x$^{4}$ ‒ 1) = x(x$^{2}$ ‒ 1)(x$^{2}$ + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1)

• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1) ⋮ 5 hay (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 1 thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1) ⋮ 5 hay (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 2 thì x$^{2}$ + 1 = (5k + 2)$^{2}$ + 1 = 25k$^{2}$ + 20k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1) ⋮ 5 hay (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 3 thì x$^{2}$ + 1 = (5k + 3)$^{2}$ + 1 = 25k$^{2}$ + 30k + 10 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1) ⋮ 5 hay (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

• Nếu x = 5k + 4 thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.

Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x$^{2}$ + 1) ⋮ 5 hay (x$^{5}$ ‒ x) ⋮ 5.

Do đó x$^{5}$ ‒ x ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Ta có: x$^{5}$ ‒ x ⋮ 5; 15x$^{2}$ ⋮ 5; 5 ⋮ 5 nên x$^{5}$ ‒ 15x$^{2}$ ‒ x + 5 ⋮ 5 với mọi số nguyên x.

Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.

Lời giải

a) Diện tích của tam giác ABC là:

$\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.x.2x = {x^2}$(dm$^{2}$)

Diện tích hình vuông MNPQ là:

MN$^{2}$ = y$^{2}$ (dm$^{2}$)

Vì vậy, tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là:

S = x$^{2}$‒ y$^{2}$ (dm$^{2}$)

b) Từ câu a, ta có

S = x$^{2}$‒ y$^{2}$ = (x ‒ y)(x + y)

Thay x – y = 2 và x + y = 10 vào S ta được:

S = 2.10 = 20 (dm$^{2}$).

Vậy tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là 20 dm$^{2}$.