Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 3. Phép nhân, phép chia phân thức đại số có đáp án

Lời giải

a) $\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { - \frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right) = - \frac{{24{y^5}.49x}}{{7{x^2}.12{y^3}}} = - \frac{{14{y^2}}}{x}$.

b) $- \frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( { - \frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right) = \frac{{36{y^3}.45{x^2}}}{{15{x^4}.9{y^3}}} = \frac{{12}}{{{x^2}}}$.

c) $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right).{x^4}}}{{{x^2}.{{\left( {x + y} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right).{x^4}}}{{{x^2}.{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}$.

d) $\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}.\frac{{1 - 3x + 3{x^2} - {x^3}}}{{9x + 27}}$

$= \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {1 - 3x + 3{x^2} - {x^3}} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {9x + 27} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x + 3} \right){{\left( {1 - x} \right)}^3}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).9.\left( {x + 3} \right)}}$

$= - \frac{{\left( {x + 3} \right){{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).9.\left( {x + 3} \right)}}$

$= - \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{9\left( {x + 1} \right)}}$.

Lời giải

a) $\frac{1}{{{x^2} - x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{1}{{{x^2} - x + 1}}.\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$

$= \frac{{1.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^3} + 1}}$.

b) $\frac{{x + y}}{{2x - y}}:\frac{1}{{x - y}} = \frac{{x + y}}{{2x - y}}.\frac{{x - y}}{1}$

$= \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {2x - y} \right).1}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2x - y}}$.

c) $\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}.\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$

$= \frac{{\left( {{x^3}y + x{y^3}} \right).1}}{{{x^4}y.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^4}y.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^3}}}$.

d) $\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}$

$= \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 1}}.\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^2} + 3x + 2}}$

$= \frac{{\left( {{x^3} + 8} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}.\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {3x + 3} \right)} \right]}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}.\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3.\left( {x + 1} \right)} \right]}}$

$$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 - x} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1 + 3} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {1 - x} \right).\left( {x + 2} \right)}}$$

$= \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{1 - x}}$.

Lời giải

a) $\frac{{39x + 7}}{{x - 2020}} \cdot \frac{{9x - 20}}{{x + 2022}} - \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}} \cdot \frac{{8x - 2042}}{{x + 2022}}$

$\; = \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}} \cdot \left( {\frac{{9x - 20}}{{x + 2022}} - \frac{{8x - 2042}}{{x + 2022}}} \right)$

$\; = \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}} \cdot \frac{{9x - 20 - 8x + 2042}}{{x + 2022}}$

$\; = \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}} \cdot \frac{{x + 2022}}{{x + 2022}} = \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}}$.

b) $\frac{{{x^2} - 81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\frac{{{x^2} + 101}}{{x - 9}} + \frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right)$

$\; = \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}} \cdot \frac{{{x^2} + 101}}{{x - 9}} + \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}} \cdot \frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}$

$= \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 101} \right)}}{{\left( {{x^2} + 101} \right)\left( {x - 9} \right)}} + \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 101} \right)}}{{\left( {{x^2} + 101} \right)\left( {x + 9} \right)}}$

= x + 9 + x ‒ 9 = 2x.

c) $\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x}}{{x + 2}} + \frac{{1 - {x^2}}}{{x + 100}}.\frac{{x - 100}}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{x - 100}}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\left( {\frac{{2x}}{{x + 2}} - \frac{{x - 100}}{{x + 2}}} \right)$

$= \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x - x + 100}}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{x + 100}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 2}}$.

Lời giải

a) Ta có: $M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}$

$= \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} - 4{y^2}}}$

$= \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right)}}{{\left( {3x + 6y} \right)\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 2y} \right){{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3.\left( {x + 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}} = \frac{1}{3}$.

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) $N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)$

$= \left[ {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right].\left[ {\frac{{x - y}}{{y\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right]$

$= \frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x - y + 2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{xy - {y^2}}}{{x + y}}.\frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}$

$= \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{y\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = 1$.

Vậy giá trị của N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) $P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}$

$= \left[ {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - \frac{{xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}} \right].\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}$

$= \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{2y}}{{x + y}}$

$= \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} - xy} \right)}}{{x + y}}.\frac{1}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}$

$= \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}$

$= \frac{{x - y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}} = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1$.

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải

a) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ nhất đã bay là: $\frac{{600}}{x}$ (giờ).

b) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{{600}}{{x + 300}}$ (giờ).

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là:

$\frac{{600}}{x}:\frac{{600}}{{x + 300}} = \frac{{600}}{x} \cdot \frac{{x + 300}}{{600}} = \frac{{x + 300}}{x}$

Vậy phân thức biểu thị tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{{x + 300}}{x}$.

Lời giải

Chiều dài của vườn hoa là: x ‒ 2 ‒ 2 = x ‒ 4 (m).

Chiều rộng của vườn hoa là: y ‒ 2 ‒ 2 = y ‒ 4(m).

a) Diện tích của mảnh đất là: xy (m$^{2}$).

Diện tích của vườn hoa là: (x ‒ 4)(y ‒ 4) = xy ‒ 4x ‒ 4y + 16 (m$^{2}$).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa là:

$\frac{{xy}}{{xy - 4x - 4y + 16}}$.

b) Chu vi của mảnh đất là: 2(x + y) (m).

Chu vi của vườn hoa là: 2(x ‒ 4 + y ‒ 4) = 2(x + y ‒ 8) (m).

Phân thức biểu thị tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa là:

$\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{2\left( {x + y - 8} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x + y - 8}}$.