Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 1. Phân thức đại số có đáp án

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{3}{{2x\left( {5 - x} \right)}}$ là: 2x(5 ‒ x) ≠ 0.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{4x}}{{{x^2} - 4}}$ là: x$^{2}$ ‒ 4 ≠ 0.

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x}{{{y^2} + 2xy}}$là: y$^{2}$ + 2xy ≠ 0.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{6{,}4y}}{{0{,}4{x^2} + 0{,}4x}}$là: 0,4x$^{2}$ + 0,4x ≠ 0.

Lời giải

a) Ta có: x$^{2}$y$^{3}$.2 = 2x$^{2}$y$^{3}$ và 2x$^{2}$y$^{2}$.y = 2x$^{2}$y$^{3}$ nên x$^{2}$y$^{3}$.2 = 2x$^{2}$y$^{2}$.y

Vậy $\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}$.

b) Ta có:

(x$^{2}$ ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = x$^{3}$ ‒ x$^{2}$ ‒ x$^{2}$ + x ‒ 2x + 2 = x$^{3}$ ‒ 2x$^{2}$ ‒ x + 2

Và (x$^{2}$ ‒ 3x + 2)(x + 1) = x$^{3}$ + x$^{2}$ ‒ 3x$^{2}$ ‒ 3x + 2x + 2 = x$^{3}$ ‒ 2x$^{2}$ ‒ x + 2

Nên (x$^{2}$ ‒ x ‒ 2).(x ‒ 1) = (x$^{2}$ ‒ 3x + 2)(x + 1)

Vậy $\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$.

c) Ta có:

(x + 3)(x$^{2}$ ‒ 3x + 9) = x$^{3}$ + 3$^{3}$ = x$^{3}$ + 27

Và (x$^{3}$ + 27).1 = x$^{3}$ + 27

Nên (x$^{2}$ ‒ 3x + 9)(x + 3) = (x$^{3}$ + 27).1

Vậy $\frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}$.

Lời giải

a) Ta có: x.5 = 5x và (5x + 5).1 = 5x + 5.

Do x.5 ≠ (5x + 5).1 nên hai phân thức $\frac{x}{{5x + 5}}$ và $\frac{1}{5}$ không bằng nhau.

b) Ta có: ‒x.(x ‒ 5)$^{2}$ = ‒x(x ‒ 5)$^{2}$ và (x ‒ 5).[‒x(x ‒ 5)] = ‒x(x ‒ 5)$^{2}$

Nên ‒x.(x ‒ 5)$^{2}$ = (x ‒ 5).[‒x(x ‒ 5)].

Vậy $\frac{{ - x}}{{x - 5}} = \frac{{ - x\left( {x - 5} \right)}}{{{{(x - 5)}^2}}}$.

c) Ta có: ‒5.(x + y) = ‒5(x + y) và (‒x ‒ y).5 = ‒5(x + y)

Nên ‒5.(x + y) = (‒x ‒ y).5

Vậy $\frac{{ - 5}}{{ - x - y}} = \frac{5}{{x + y}}$.

d) Ta có: ‒x.(3 ‒ x)$^{2}$ = ‒x(x ‒ 3)$^{2}$ và (x ‒ 3)$^{2}$.x = x(x ‒ 3)$^{2}$.

Do ‒x.(3 ‒ x)$^{2}$ ≠ (x ‒ 3)$^{2}$.x nên khi x ≠ 0 và x ≠ 3 thì hai phân thức $\frac{{ - x}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$ và $\frac{x}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}$ không bằng nhau.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0.

Ta có: $\frac{{25{x^2}{y^3}}}{{35{x^3}{y^2}}} = \frac{{5.5.{x^2}.y.{y^2}}}{{5.7.x.{x^2}.{y^2}}} = \frac{{5y}}{{7x}}$.

b) Điều kiện xác định của phân thức là y ‒ x ≠ 0.

Ta có: $\frac{{x - y}}{{y - x}} = \frac{{ - \left( {y - x} \right)}}{{y - x}} = - 1$.

c) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0.

Ta có: $\frac{{{{\left( { - x} \right)}^5}{y^2}}}{{{x^2}{{\left( { - y} \right)}^3}}} = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot {x^5}{y^2}}}{{\left( { - 1} \right) \cdot {x^2}{y^3}}} = \frac{{{x^3}}}{y}$.

d) Điều kiện xác định của phân thức là x$^{3}$ ‒ 4x$^{2}$ + 4x ≠ 0.

Ta có: $\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4{x^2} + 4x}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 2}}$.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0 và y ≠ 0

Ta có: $A = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = \frac{{{x^2}}}{y}$.

Với x = 1 ≠ 0; y = 2 ≠ 0, giá trị của phân thức đã cho tại x = 1; y = 2 là:

$A = \frac{{{1^2}}}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Điều kiện xác định của phân thức là 20(2 – x)y$^{2}$ ≠ 0.

Ta có: $B = \frac{{ - 4\left( {x - 2} \right){x^2}}}{{20\left( {2 - x} \right){y^2}}} = \frac{{4\left( {2 - x} \right){x^2}}}{{4.5\left( {2 - x} \right){y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{5{y^2}}}$

Với $x = \frac{1}{2}$ và $y = \frac{1}{5}$ ta thấy $20\left( {2--x} \right){y^2} = 20.\left( {2 - \frac{1}{2}} \right).{\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{6}{5} \ne 0$

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại $x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{5}$ là:

$B = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{5.{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}}}\frac{{\frac{1}{4}}}{{5.\frac{1}{{25}}}} = \frac{1}{4}.5 = \frac{5}{4}$.

c) Điều kiện xác định của phân thức là x$^{2}$ ‒ 1 ≠ 0.

Với x = ‒7 ta thấy x$^{2}$ – 1 = (–7)$^{2}$ – 1 = 48 ≠ 0

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = ‒7 là:

$C = \frac{{{{\left( { - 7} \right)}^2} - 8.\left( { - 7} \right) + 7}}{{{{\left( { - 7} \right)}^2} - 1}} = \frac{{49 + 56 + 7}}{{48}} = \frac{{112}}{{48}} = \frac{7}{3}$.

d) Điều kiện xác định của phân thức là x$^{2}$ ‒ y$^{2}$ ≠ 0

Ta có: $D = \frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}$$= \frac{{5.\left( {{x^2} - 2x + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}$

$= \frac{{5{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{5\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}$

Với x = 0,5; y = 0,6 ta thấy x$^{2}$ ‒ y$^{2}$ = (0,5)$^{2}$ – (0,6)$^{2}$ = –0,11 ≠ 0.

Giá trị của phân thức đã cho tại x = 0,5; y = 0,6 là:

$B = \frac{{5(0{,}5 - 0{,}6)}}{{0{,}5 + 0{,}6}} = \frac{{ - 5}}{{11}}$.

Lời giải

a) Ta có: 15x$^{3}$y$^{2}$ = 5x$^{3}$y$^{2}$.3; 10x$^{4}$z$^{3}$ = 5x$^{3}$.2xz$^{3}$; 20y$^{3}$z = 5y$^{3}$z.4.

Chọn MTC là: 60x$^{4}$y$^{3}$z$^{3}$

Nhân tử phụ của ba mẫu thức 15x$^{3}$y$^{2}$; 10x$^{4}$z$^{3}$; 20y$^{3}$z lần lượt là: 4xyz$^{3}$; 6y$^{3}$; 3x$^{4}$z$^{2}$.

Vậy: $\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \frac{{2.4xy{z^3}}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}$

$\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}.6{y^3}}} = \frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}$

$\frac{x}{{20{y^3}z}} = \frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}$.

b) Ta có: 2x + 6 = 2(x + 3); x$^{2}$ ‒ 9 = (x ‒ 3)(x + 3)

Chọn MTC là: 2(x ‒ 3)(x + 3).

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 2x + 6 và x$^{2}$ ‒ 9 lần lượt là: (x ‒ 3) và 2

Vậy: $\frac{x}{{2x + 6}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}$;

$\frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{4.2}}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {{x^2} - 9} \right)}}$.

c) Ta có: x$^{3}$ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x$^{2}$ + x + 1) và x$^{2}$ + x + 1 = x$^{2}$ + x + 1

Chọn MTC là: x$^{3}$ ‒ 1 = (x ‒ 1)(x$^{2}$ + x + 1)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức x$^{3}$ ‒ 1 và x$^{2}$ + x + 1 lần lượt là: 1 và x ‒ 1.

Vậy: $\frac{{2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x}}{{{x^3} - 1}}$ và $\frac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^3} - 1}}$.

d) Ta có: 1 + 2x + x$^{2}$ = (1 + x)$^{2}$;

5x$^{2}$ ‒ 5 = 5(x$^{2}$ ‒ 1) = 5(x ‒ 1)(x + 1).

Chọn MTC là: 5(x ‒ 1)(x + 1)$^{2}$

Nhân tử phụ của hai mẫu thức 1 + 2x + x$^{2}$và 5x$^{2}$ ‒ 5 lần lượt là: 5(x ‒ 1) và x + 1.

Vậy: $\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \frac{{x.5.\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).5.\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{5x\left( {x - 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$\frac{3}{{5{x^2} - 5}} = \frac{{3.\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Lời giải

a) Ta có: $\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax - ay} \right)}} = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right).a.\left( {x - y} \right)}} = \frac{1}{a}$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.

b) Ta có: $\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} - {x^2}}}{{2x + a}} = \frac{{\left( {x + a - x} \right)\left( {x + a + x} \right)}}{{2x + a}} = \frac{{a\left( {2x + a} \right)}}{{2x + a}} = a$.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.

Lời giải

a) Diện tích của miếng bìa ban đầu là x$^{2}$ (cm$^{2}$)

Diện tích của mỗi góc miếng bìa hình vuông là: y$^{2}$ (cm$^{2}$)

Diện tích của phần bìa còn lại sai khi cắt là: x$^{2}$ ‒ 4y$^{2}$ (cm$^{2}$).

Phân số biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt là: $\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}}$.

b) Giá trị của phân thức $\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}}$ tại x = 4; y = 1 là:

$\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4y}} = \frac{{{4^2}}}{{{4^2} - 4.1}} = \frac{{16}}{{12}} = \frac{4}{3}$.