Giải SBT Toán 7 CTST Bài 35. Tính chất ba đường cao của tam giác có đáp

Gọi M là giao điểm của AC và BD.

Xét tam giác MAB có E là giao điểm của hai đường cao AD và BC nên E là trực tâm của tam giác MAB.

Khi đó ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác AMB, tức là ME ⊥ AB.

Mà EK ⊥ AB.

Do đó EK đi qua điểm M.

Vậy AC, EK và BD cùng đi qua điểm M.

Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

Cạnh AM là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên),

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Lại có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù).

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$.

Hay AM ⊥ BC.

Mà d ⊥ AM (giả thiết).

Suy ra d // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy d // BC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).

Suy ra AC = AD = AB.

Xét ΔAEB và ΔAEC có:

$\widehat{AEB}=\widehat{AEC}(=90^{\circ})$,

Cạnh AE là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$ (hai góc tương ứng).

Xét ΔACF và ΔADF có:

$\widehat{AFC}=\widehat{AFD}(=90^{\circ})$,

Cạnh AF là cạnh chung,

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{BA\text{E}}+\widehat{CA\text{E}}+\widehat{FAC}+\widehat{FAD}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{BA\text{E}}=\widehat{CA\text{E}}$, $\widehat{FAC}=\widehat{FAD}$(chứng minh trên).

Suy ra $2\widehat{EAC}+2\widehat{FAC}=180^{\circ}$

Hay $2(\widehat{EAC}+\widehat{FAC})=180^{\circ}:2=90^{\circ}$

Do đó $\widehat{EAF}=90^{\circ}$.

Vậy góc EAF vuông.

Trong tam giác vuông ABE ta có: $\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}=90^{\circ}$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{EBA}=54^{\circ}$ nên $\widehat{EAB}=90^{\circ}-\widehat{EBA}=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$.

Trong tam giác vuông BAF ta có: $\widehat{\text{FA}B}+\widehat{FBA}=90^{\circ}$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{FAB}=65^{\circ}$ nên $\widehat{FBA}=90^{\circ}-\widehat{FAB}=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$.

Trong DAHB ta có: $\widehat{HAB}+\widehat{HBA}+\widehat{AHB}=180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{AHB}=180^{\circ}-\widehat{HAB}-\widehat{HBA}=180^{\circ}-36^{\circ}-25^{\circ}=119^{\circ}$.

Vậy $\widehat{AHB}=119^{\circ}.$

Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC.

Trong DBHC có: $\widehat{HCB}+\widehat{HBC}+\widehat{CHB}=180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=180-\widehat{BHC}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$

Trong DCBE vuông tại E có: $\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=90^{\circ}$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\widehat{ECB}=90^{\circ}-\widehat{EBC}$ (1)

Trong DCBF vuông tại F có: $\widehat{FCB}+\widehat{FBC}=90^{\circ}$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\widehat{FBC}=90^{\circ}-\widehat{FCB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\widehat{FBC}+\widehat{ECB}=180^{\circ}-(\widehat{EBC}+\widehat{FCB})$

$=180^{\circ}-(\widehat{HBC}+\widehat{HCB})=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.$

Hay $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=150^{\circ}$

Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{150^{\circ}}{2}=75^{\circ}$.

Trong DABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{CAB}=180^{\circ}$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{ACB}-\widehat{ABC}=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}$.

Vậy $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=75^{\circ}$, $\widehat{A}=30^{\circ}.$