Giải SBT Toán 7 CD Bài 8. Đường vuông góc và đường xiên có đáp án

a) $\widehat{xOy}$ là góc nhọn

b) $\widehat{xOy}$ là góc vuông

c) $\widehat{xOy}$ là góc tù

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét DAHB và DAHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^{\circ})$,

BA = AC (chứng minh trên),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

Vậy BH = CH.

b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ (hai góc tương ứng).

Xét DAMB và DAMC có:

BA = AC (chứng minh câu a),

$\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (do $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$ ),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vậy BM = CM.

c) Vì $\widehat{AMC}$ là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M

Nên $\widehat{AMC}=\widehat{MHC}+\widehat{MCH}$

Mà $\widehat{MHC}=90^{\circ}$ nên $\widehat{AMC}$ là góc tù

Xét tam giác AMC có $\widehat{AMC}$ là góc tù

Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).

Vậy MC < AC.

a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AB.

Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Suy ra AH < AC.

Vậy AH < AB và AH < AC.

b) • Nếu AB = AC.

Xét DAHB và DAHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^{\circ})$,

AB = AC (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).

• Nếu BH = CH

Xét DAHB và DAHC có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^{\circ})$,

BH = CH (giả thiết),

AH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.

a)

c) Xét DMAE và DMCF có:

$\widehat{AEM}=\widehat{CFM}(=90^{\circ})$,

MA = MC (vì M là trung điểm của AC),

$\widehat{AME}=\widehat{CMF}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).

Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC

Suy ra AB < BM.

Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

AB + AB < BE + EM + BF – MF

Mà ME = MF

Do đó 2AB < BE + BF.

Vậy BE + BF > 2AB.

a) Xét DMAB vuông tại M có: $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{MAB}+\widehat{CAN}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=90^{\circ}$

Lại có $\widehat{ABM}+\widehat{MAB}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ .

Vậy $\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ .

b) Xét DMAB và DNCA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{ANC}(=90^{\circ})$,

BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).

Vậy MA = NC.

c) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của tam giác ABC)

Suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$ .

• Nếu a // BC thì $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{MAB}=45^{\circ}$ .

Xét DABM có $\widehat{AMB}+\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{MBA}=180^{\circ}-\widehat{AMB}-\widehat{MAB}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ .

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ và $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$ nên DAMB vuông cân tại M.

Suy ra MA = MB (1)

• Nếu a // BC thì $\widehat{CAN}=\widehat{ACB}=45^{\circ}$ (hai góc so le trong)

Xét DABM có $\widehat{ACN}+\widehat{ANC}+\widehat{CAN}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACN}=180^{\circ}-\widehat{ANC}-\widehat{CAN}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ .

Do đó $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ (cùng bằng 45°).

Xét ∆ANC có $\widehat{ANC}=90^{\circ}$ và $\widehat{ACN}=\widehat{CAN}$ nên ∆ANC vuông cân tại N.

Suy ra CN = AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.

Vậy MA = AN.

Kẻ DH ⊥ BC.

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ${\widehat{B}}_{1}={\widehat{B}}_{2}$ .

Xét DDAB và DDHB có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}(=90^{\circ})$,

BD là cạnh chung,

${\widehat{B}}_{1}={\widehat{B}}_{2}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)

Vì DDHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.

Vậy AD < DC.

a) Vì DABD vuông tại A nên ${\widehat{B}}_{1}+{\widehat{D}}_{1}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 )

Mà ${\widehat{B}}_{1}={\widehat{B}}_{2}$ (do BD là tia phân giác của góc ABC) và ${\widehat{D}}_{1}={\widehat{D}}_{2}$ (hai góc đối đỉnh).

Nên ${\widehat{B}}_{2}+{\widehat{D}}_{2}=90^{\circ}$

Vì DCDM vuông tại C nên $\widehat{M}+{\widehat{D}}_{2}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90 ).

Suy ra $\widehat{M}={\widehat{B}}_{2}$

Do đó tam giác CBM cân tại C.

Vậy tam giác CBM cân tại C.

b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)

Nên CM = BC.

Vì DABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra CM > AC.

Vậy CM > AC.

a) Vì DBHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Vì DCKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.

Vậy BH + CK ≤ BC.

b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).

Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC

Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.

Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE

Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax

Hay BC ⊥ Ax.

Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.