Giải SBT Toán 7 CD Bài 5. Phép chia đa thức một biến có đáp án

a) $(\frac{3}{4}{x}^{3}):(-\frac{1}{2}{x}^{2})$$=[\frac{3}{4}:(-\frac{1}{2})].({x}^{3}:{x}^{2})$

$=\frac{3}{4}.\frac{-2}{1}.{x}^{3-2}=-\frac{3}{2}x$;

c) $({x}^{3}-3{x}^{2}+6x):(-\frac{1}{3}x)$

$=[{x}^{3}:(-\frac{1}{3}x)]-[3{x}^{2}:(-\frac{1}{3}x)]+[6x:(-\frac{1}{3}x)]$

$=[1:(-\frac{1}{3})].({x}^{3}:x)-[3:(-\frac{1}{3})].({x}^{2}:x)+[6:(-\frac{1}{3})].(x:x)$

= 1 . (–3) . x$^{3 – 1}$ – 3 . (–3) . x$^{2 – 1}$ + 6 . (–3) . x$^{1 – 1}$

= –3x$^{2}$ + 9x – 18;

d) $(x+\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{7}{2}{x}^{3}):(5x)$

$=(x:5x)+(\frac{1}{3}{x}^{2}:5x)+(\frac{7}{2}{x}^{3}:5x)$

$=(1:5).(x:x)+(\frac{1}{3}:5).({x}^{2}:x)+(\frac{7}{2}:5).({x}^{3}:x)$

$=\frac{1}{5}.{x}^{1-1}+\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.{x}^{2-1}+\frac{7}{2}.\frac{1}{5}.{x}^{3-1}$

$=\frac{1}{5}{x}^{0}+\frac{1}{15}{x}^{1}+\frac{7}{10}{x}^{2}$

$=\frac{1}{5}+\frac{1}{15}x+\frac{7}{10}{x}^{2}.$

a) $P(x)=(6{x}^{5}-\frac{1}{2}{x}^{4}+\frac{1}{3}{x}^{3}):(2{x}^{3})$

$=(6{x}^{5}:2{x}^{3})-(\frac{1}{2}{x}^{4}:2{x}^{3})+(\frac{1}{3}{x}^{3}:2{x}^{3})$

$=(6:2).({x}^{5}:{x}^{3})-(\frac{1}{2}:2).({x}^{4}:{x}^{3})+(\frac{1}{3}:2).({x}^{3}:{x}^{3})$

$=3.{x}^{5-3}-\frac{1}{4}.{x}^{4-3}+\frac{1}{6}.{x}^{3-3}$

$=3.{x}^{2}-\frac{1}{4}.{x}^{1}+\frac{1}{6}.{x}^{0}$

$=3{x}^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}.$

Thay x = –2 vào $P(x)=3{x}^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{6}$ ta được:

$P(-2)=3.{(-2)}^{2}-\frac{1}{4}.(-2)+\frac{1}{6}=3.4+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$

$=\frac{72+3+1}{6}=\frac{76}{6}=\frac{38}{3}.$

Vậy tại x = –2 thì P(x) có giá trị bằng $\frac{38}{3}$

b) $Q(x)=3(\frac{2x}{3}-1)+(15{x}^{2}-10x):(-5x)-(3x-1)$

$=3.\frac{2x}{3}-3.1+[15{x}^{2}:(-5x)]-[10x:(-5x)]-3x+1$

= 2x – 3 + (–3x) – (– 2) – 3x + 1

= [2x + (– 3x) – 3x] + [– 3 – (–2) + 1]

= – 4x.

Thay $x=\frac{1}{3}$ vào Q(x) = – 4x ta được:

$Q(\frac{1}{3})=-4.\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}.$

Vậy tại $x=\frac{1}{3}$ thì Q(x) có giá trị bằng $\frac{-4}{3}$

Theo em, bạn Hà nói đúng. Vì:

A(x) : B(x) = (– 12x$^{4}$ + 5x$^{3}$ + 15x$^{2}$) : (3x$^{2}$)

= (– 12x$^{4}$ : 3x$^{2}$) + (5x$^{3}$ : 3x$^{2}$) + (15x$^{2}$ : 3x$^{2}$)

= –4x$^{2}$ + $\frac{5}{3}$x + 5.

Do đó A(x) ⋮ B(x).

Vậy bạn Hà nói đúng.

a) (3x$^{3}$ – 7x$^{2}$ + 4x – 4) : (x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix}{}^{}\ 3{x}^{3}-7{x}^{2}+4x-4 \\ \overline{}3{x}^{3}-6{x}^{2}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{} \\ {}^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}\ -{\ }^{}\ {x}^{2}+4x-4 \\ {}^{}{\ }^{}{\ }^{}\ \overline{}\ -{\ }^{}{x}^{2}+2{x}^{}{\ }^{}\ \\ {{}^{}}^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}\ 2x-4 \\ {{}^{}}^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}\ \overline{}\ 2x-4 \\ {{}^{}}^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}{{}^{}}^{}{\ }^{}{\ }^{}{{\ }^{}}^{}\ 0\end{matrix}\begin{matrix}x-2 \\ 3{x}^{2}-x+2 \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix}$

Vậy (3x$^{3}$ – 7x$^{2}$ + 4x – 4) : (x – 2) = 3x$^{2}$ – x + 2.

b) (x$^{5}$ + x + 1) : (x$^{3}$ – x).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & {x}^{5} & & & + & \ x & + & 1 \\ \overline{} & {x}^{5} & + & {x}^{3} & & & & \\ & & - & {x}^{3} & + & \ x & + & 1 \\ & \overline{} & - & {x}^{3} & - & \ x & & \\ & & & & & 2x & + & 1\end{matrix}\begin{matrix}{x}^{2}+1 \\ {x}^{3}-x \\ \\ \\ \end{matrix}$

Vậy (x$^{5}$ + x + 1) : (x$^{3}$ – x) = x$^{3}$ – x (dư 2x + 1).

Dựa vào quy tắc phép chia ta có:

P(x) = Q(x) . S(x) + R(x)

Hay P(x) – R(x) = Q(x) . S(x)

Suy ra Q(x) = [P(x) – R(x)] : S(x)

Do đó Q(x) = [(3x$^{3}$ – 2x$^{2}$ + 5) – (3x + 3)] : (3x – 2)

= (3x$^{3}$ – 2x$^{2}$ + 5 – 3x – 3) : (3x – 2)

= (3x$^{3}$ – 2x$^{2}$ – 3x + 2) : (3x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & 3{x}^{3} & - & 2{x}^{2} & - & 3x & + & 2 \\ \overline{} & 3{x}^{3} & - & 2{x}^{2} & & & & \\ & & & & - & 3x & + & 2 \\ & & & & - & 3x & + & 2 \\ & & & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}3x-2 \\ {x}^{2}-1 \\ \\ \\ \end{matrix}$

Khi đó Q(x) = (3x$^{3}$ – 2x$^{2}$ – 3x + 2) : (3x – 2) = x$^{2}$ – 1.

Vậy Q(x) = x$^{2}$ – 1.

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & 4{x}^{4} & & & - & {}^{}\ 2{x}^{2} & & & + & {}^{}{\ }^{}\ 7 \\ \overline{} & 4{x}^{4} & + & 12{x}^{3} & & & & & & \\ & & - & 12{x}^{3} & - & {}^{}\ 2{x}^{2} & & & + & {}^{}{\ }^{}\ 7 \\ & \overline{} & - & 12{x}^{3} & - & 36{x}^{2} & & & & \\ & & & & & 34{x}^{2} & & & + & {}^{}{\ }^{}\ 7 \\ & & & & \overline{} & 34{x}^{2} & + & 102x & & \\ & & & & & & - & 102x & + & {}^{}{\ }^{}\ 7 \\ & & & & & \overline{} & - & 102x & - & 306 \\ & & & & & & & & & 313\end{matrix}\begin{matrix}x+3 \\ 4{x}^{3}-12{x}^{2}+34x-102 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix}$

Vậy thực hiện phép chia đa thức 4x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 7 cho x + 3, ta được thương là 4x$^{3}$ – 12x$^{2}$ + 34x – 102 và số dư là 313.

b) Dựa vào quy tắc phép chia ta có đa thức bị chia là:

(x$^{2}$ – 2x + 3) . (x$^{2}$ – 2) + (9x – 5)

= x$^{2}$ . (x$^{2}$ – 2) – 2x . (x$^{2}$ – 2) + 3 . (x$^{2}$ – 2) + 9x – 5

= x$^{4}$ – 2x$^{2}$ – 2x$^{3}$ + 4x + 3x$^{2}$ – 6 + 9x – 5

= x$^{4}$ – 2x$^{3}$ + (– 2x$^{2}$ + 3x$^{2}$) + (4x + 9x) + (– 6 – 5)

= x$^{4}$ – 2x$^{3}$ + x$^{2}$ + 13x – 11

Vậy đa thức bị chia cần tìm là x$^{4}$ – 2x$^{3}$ + x$^{2}$ + 13x – 11.

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & 10{x}^{2} & - & {}^{}\ 7x & + & {\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}\ a \\ \overline{} & 10{x}^{2} & - & 15x & & \\ & & & {\ }^{}8x & + & {\ }^{}{\ }^{}{{\ }^{}}^{}a \\ & & \overline{} & {\ }^{}8x & - & {\ }^{}{\ }^{}{\ }^{}12 \\ & & & & & \ a+12\end{matrix}\begin{matrix}2x-3 \\ 5x+4 \\ \\ \\ \end{matrix}$

Do đó số dư của phép chia là a + 12.

Để 10x$^{2}$ – 7x + a chia hết cho 2x – 3 thì số dư bằng 0, tức là a + 12 = 0.

Suy ra a = –12.

Vậy a = –12 thì 10x$^{2}$ – 7x + a chia hết cho 2x – 3.

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & {x}^{3} & & & - & 10x & + & {\ }^{}{\ }^{}\ a \\ \overline{} & {x}^{3} & - & 2{x}^{2} & & & & \\ & & & 2{x}^{2} & - & 10x & + & {\ }^{}{\ }^{}\ a \\ & & \overline{} & 2{x}^{2} & - & \ 4x & & \\ & & & & - & \ 6x & + & {\ }^{}{\ }^{}\ a \\ & & & \overline{} & - & \ 6x & + & {\ }^{}\ 12 \\ & & & & & & & a-12\end{matrix}\ \begin{matrix}x-2 \\ {x}^{2}+2x-6 \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix}$

Do đó số dư của phép chia trên là a – 12.

Để x$^{3}$ – 10x + a chia hết cho x – 2 thì số dư bằng 0, tức là a – 12 = 0.

Suy ra a = 12.

Vậy a = 12 thì x$^{3}$ – 10x + a chia hết cho x – 2.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & 2{n}^{2} & - & {\ }^{}n & & \\ \overline{} & 2{n}^{2} & + & 2n & & \\ & & - & 3n & & \\ & \overline{} & - & 3n & - & 3 \\ & & & & & 3\end{matrix}\begin{matrix}n+1 \\ 2n-3 \\ \\ \\ \end{matrix}$

Do đó $\frac{2{n}^{2}-n}{n+1}=2n-3+\frac{3}{n+1}$ (với n + 1 ≠ 0).

Với n ∈ ℤ để 2n2 – n chia hết cho n + 1 thì 3 ⋮ (n + 1).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (n + 1) ∈ Ư(3) = {–1; 1; –3; 3}.

Ta có bảng sau:

$\begin{matrix}n+1 & -1 & 1 & -3 & 3 \\ n & \begin{matrix}\ -2 \\ (tm)\end{matrix} & \begin{matrix}\ 0\ \\ (tm)\end{matrix} & \begin{matrix}\ -4 \\ (tm)\end{matrix} & \begin{matrix}\ 2 \\ (tm)\end{matrix}\end{matrix}$

Vậy n ∈ {–4; –2; 0; 3}.

Quan sát Hình 6 ta thấy chiều cao kẻ từ C của tam giác BMC cũng là chiều cao của hình thang vuông AMCD.

Ta có diện tích của tam giác BMC được tính là:

$\frac{1}{2}$ . BM . BC = $\frac{1}{2}$ . BM . (2x + 5) (m$^{2}$).

Mà theo bài diện tích phần đất dạng tam giác BMC là 6x$^{2}$ + 13x – 5 (m$^{2}$).

Do đó $\frac{1}{2}$ . BM . (2x + 5) = 6x$^{2}$ + 13x – 5

Hay BM . (2x + 5) = 2 . (6x$^{2}$ + 13x – 5)

Suy ra BM = [2 . (6x$^{2}$ + 13x – 5)] : (2x + 5)

Hay BM = (12x$^{2}$ + 26x – 10) : (2x + 5).

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{matrix} & 12{x}^{2} & + & 26x & - & 10 \\ \overline{} & 12{x}^{2} & + & 30x & & \\ & & - & \ 4x & - & 10 \\ & \overline{} & - & \ 4x & - & 10 \\ & & & & & 0\end{matrix}\begin{matrix}2x+5 \\ 6x-2 \\ \\ \\ \end{matrix}$

Khi đó BM = 6x – 2 (m).

Suy ra AB = AM + MB = 10 + 6x – 2 = 6x + 8 (m).

Diện tích của mảnh đất hình thang vuông ban đầu là:

$\frac{1}{2}$ . [10 + (6x + 8)] . (2x + 5) = $\frac{1}{2}$ . (6x + 18) . (2x + 5)

= (3x + 9) . (2x + 5) = 3x . (2x + 5) + 9 . (2x + 5)

= 6x$^{2}$ + 15x + 18x + 45 = 6x$^{2}$ + 33x + 45 (m$^{2}$).

Vậy diện tích của mảnh đất hình thang vuông ban đầu là 6x$^{2}$ + 33x + 45 (m$^{2}$).