Giải SBT Toán 7 CD Bài 4. Phép nhân đa thức một biến có đáp án

a) $\frac{1}{4}x.(\frac{1}{2}{x}^{2}).(-\frac{4}{5}{x}^{3})$

$=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.(-\frac{4}{5})$. x . x$^{2}$ . x$^{3}$

= $-\frac{1}{10}$x$^{6}$.

b) 0,5x$^{m + 1}$. 0,8x$^{m – 1}$

= 0,5 . 0, 8 . x$^{m + 1}$ . x$^{m – 1}$

= 0,4x$^{m + 1 + m – 1}$

= 0,4x$^{2m}$.

c) $({x}^{2}-3x+\frac{1}{4})(-3{x}^{3})$

= x$^{2}$ . (–3x$^{3}$) – 3x . (–3x$^{3}$) + $\frac{1}{4}$ . (–3x$^{3}$)

= –3x$^{5}$+ 9x$^{4}$ – $\frac{3}{4}$x$^{3}$.

d) (x – 2)(x$^{2}$ + x – 1) – x(x$^{2}$ – 1)

= x(x$^{2}$ + x – 1) – 2(x$^{2}$ + x – 1) – x . x$^{2}$ ‒ x . (‒1)

= x . x$^{2}$ + x . x ‒ x . 1 – 2 . x$^{2}$ – 2 . x – 2 . (‒1) – x$^{3}$ + x

= x$^{3}$ + x$^{2}$ – x – 2x$^{2}$ – 2x + 2 – x$^{3}$ + x

= (x$^{3}$ – x$^{3}$) + (x$^{2}$ – 2x$^{2}$) + (‒ x – 2x + x) + 2

= ‒ x$^{2}$ – 2x + 2.

a) (x + 0,5)(x$^{2}$ + 2x – 0,5)

= x . (x$^{2}$ + 2x – 0,5) + 0,5 . (x$^{2}$ + 2x – 0,5)

= x . x$^{2}$ + x . 2x – x . 0,5 + 0,5 . x$^{2}$ + 0,5 . 2x – 0,5 . 0,5

= x$^{3}$ + 2x$^{2}$ – 0,5x + 0,5x$^{2}$ + x – 0,25

= x$^{3}$ + (2x$^{2}$ + 0,5x$^{2}$) + (– 0,5x + x) + 0,25

= x$^{3}$ + 2,5x$^{2}$ + 0,5x – 0,25.

Do đó phát biểu a) là sai.

b) (x + 0,5)(x – 0,5)

= x . (x – 0,5) + 0,5 . (x – 0,5)

= x . x – x . 0,5 + 0,5 . x – 0,5 . 0,5

= x$^{2}$ – 0,5x + 0,5x – 0,25

= x$^{2}$ – 0,25.

Do đó phát biểu b) là đúng.

c) $\frac{1}{2}{x}^{3}(2x-1)(\frac{1}{4}x+1)$

$=(\frac{1}{2}{x}^{3}.2x-\frac{1}{2}{x}^{3}.1)(\frac{1}{4}x+1)$

$=({x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{3})(\frac{1}{4}x+1)$

$={x}^{4}.(\frac{1}{4}x+1)-\frac{1}{2}{x}^{3}.(\frac{1}{4}x+1)$

$={x}^{4}.\frac{1}{4}x+{x}^{4}.1-\frac{1}{2}{x}^{3}.\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}{x}^{3}.1$

$=\frac{1}{4}{x}^{5}+{x}^{4}-\frac{1}{8}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{3}$

$=\frac{1}{4}{x}^{5}+({x}^{4}-\frac{1}{8}{x}^{4})-\frac{1}{2}{x}^{3}$

$=\frac{1}{4}{x}^{5}+\frac{7}{8}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{3}.$

Do đó phát biểu c) là sai.

a) x(2x + 1) – x$^{2}$(x + 2) + (x$^{3}$ – x + 3)

= x . 2x + x . 1 – x$^{2}$ . x – x$^{2}$ . 2 + x$^{3}$ – x + 3

= 2x$^{2}$ + x – x$^{3}$ – 2x$^{2}$ + x$^{3}$ – x + 3

= (– x$^{3}$ + x$^{3}$) + (2x$^{2}$ – 2x$^{2}$) + (x – x) + 3

= 3.

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng 3) nên không phụ thuộc vào biến.

b) $0{,}2(5x-3)-\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x+6)+\frac{2}{3}(3-x)$

= 0,2 . 5x – 0,2 . 3 – $\frac{1}{2}.\frac{2}{3}$x – $\frac{1}{2}$ . 6 + $\frac{2}{3}$ . 3 – $\frac{2}{3}$ . x

= x – 0,6 – $\frac{1}{3}$x – 3 + 2 – $\frac{2}{3}$x

$=(x-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}x)$ + (– 0,6 – 3 + 2)

= –1,6.

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng –1,6) nên không phụ thuộc vào biến.

c) (2x – 9)(2x + 9) – 4x$^{2}$

= 2x . (2x + 9) – 9 . (2x + 9) – 4x$^{2}$

= 2x . 2x + 2x . 9 – 9 . 2x – 9 . 9 – 4x$^{2}$

= 4x$^{2}$ + 18x – 18x – 81 – 4x$^{2}$

= (4x$^{2}$ – 4x$^{2}$) + (18x – 18x) – 81

= – 81.

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng –81) nên không phụ thuộc vào biến.

d) (x$^{2}$ + 3x + 9)(x – 3) – (x$^{3}$ + 23).

= x$^{2}$ . (x – 3) + 3x . (x – 3) + 9 . (x – 3) – x$^{3}$ – 23

= x$^{2}$ . x – x$^{2}$ . 3 + 3x . x – 3x . 3 + 9 . x – 9 . 3 – x$^{3}$ – 23

= x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 3x$^{2}$ – 9x + 9x – 27 – x$^{3}$ – 23

= (x$^{3}$ – x$^{3}$) + (– 3x$^{2}$ + 3x$^{2}$) + (– 9x + 9x) + (– 27 – 23)

= – 50.

Giá trị biểu thức là hằng số (bằng –50) nên không phụ thuộc vào biến.

a) (x + 1)(x$^{2}$ – x + 1)

= x . (x$^{2}$ – x + 1) + 1 . (x$^{2}$ – x + 1)

= x . x$^{2}$ – x . x + x . 1 + x$^{2}$ – x + 1

= x$^{3}$ – x$^{2}$ + x + x$^{2}$ – x + 1

= x$^{3}$ + (– x$^{2}$ + x$^{2}$) + (x – x) + 1

= x$^{3}$ – 1.

Vậy (x + 1)(x$^{2}$ – x + 1) = x$^{3}$ – 1.

b) (x$^{3}$ + x$^{2}$ + x + 1)(x – 1)

= x$^{3}$ . (x – 1) + x$^{2}$ . (x – 1) + x . (x – 1) + 1. (x – 1)

= x$^{3}$ . x – x$^{3}$ . 1 + x$^{2}$ . x – x$^{2}$ . 1 + x . x – x . 1 + x – 1

= x$^{4}$ – x$^{3}$ + x$^{3}$ – x$^{2}$ + x$^{2}$ – x + x – 1

= x$^{4}$ + (– x$^{3}$ + x$^{3}$) + (– x$^{2}$ + x$^{2}$) + (– x + x) – 1

= x$^{4}$ – 1.

Vậy (x$^{3}$ + x$^{2}$ + x + 1)(x – 1) = x$^{4}$ – 1.

c) (x + a)(x + b)

= x . (x + b) + a . (x + b)

= x . x + x . b + a . x + ab

= x$^{2}$ + (bx + ax) + ab

= x$^{2}$ + (a + b)x + ab.

Vậy (x + a)(x + b) = x$^{2}$ + (a + b)x + ab (với a, b là số thực).

a) Ta có:

3(2x – 1) + 5(3 – x)

= 3 . 2x – 3 . 1 + 5 . 3 – 5 . x

= 6x – 3 + 15 – 5x

= x + 12

Thay x = $-\frac{3}{2}$ vào biểu thức x + 12 ta được:

$\frac{-3}{2}$ + 12 = $\frac{-3+24}{2}=\frac{21}{2}.$

Vậy với x = $\frac{-3}{2}$ thì giá trị của biểu thức đã cho là $\frac{21}{2}$

c) Ta có:

(x – 2)(x$^{2}$ + x + 1) – x(x$^{2}$ – 1)

= x . (x$^{2}$ + x + 1) – 2 . (x$^{2}$ + x + 1) – x . x$^{2}$ – x . (–1)

= x . x$^{2}$ + x . x + x . 1 – 2 . x$^{2}$ – 2 . x – 2 . 1 – x$^{3}$ + x

= x$^{3}$ + x$^{2}$ + x – 2x$^{2}$ – 2x – 2 – x$^{3}$ + x

= (x$^{3}$ – x$^{3}$) + (x$^{2}$ – 2x$^{2}$) + (x – 2x + x) – 2

= – x$^{2}$ – 2.

Thay x = 0,25 vào biểu thức vừa thu gọn ta được:

– 0,25$^{2}$ – 2 = –0,0625 – 2 = –2,0625.

Vậy với x = 0,25 thì giá trị biểu thức đã cho là –2,0625.

d) Ta có:

2x$^{2}$ + 3(x – 1)(x + 1)

= 2x$^{2}$ + (3 . x – 3 . 1)(x + 1)

= 2x$^{2}$ + (3x – 3)(x + 1)

= 2x$^{2}$ + 3x . (x + 1) – 3 . (x + 1)

= 2x$^{2}$ + 3x . x + 3x . 1 – 3 . x – 3 . 1

= 2x$^{2}$ + 3x$^{2}$ + 3x – 3x – 3

= (2x$^{2}$ + 3x$^{2}$) + (3x – 3x) – 3

= 5x$^{2}$ – 3.

Thay x = $\frac{1}{3}$vào biểu thức vừa thu gọn ta được:

$5.{(\frac{1}{3})}^{2}-3=5.\frac{1}{9}-3=\frac{5}{9}-\frac{27}{9}=-\frac{22}{9}$

Vậy với x = $\frac{1}{3}$thì giá trị biểu thức đã cho là $\frac{-22}{3}$

a) Ta có:

P(x) = (2x$^{2}$ + a)(2x$^{3}$ – 3) – 5a(x + 3) + 1

= 2x$^{2}$ . (2x$^{3}$ – 3) + a . (2x$^{3}$ – 3) – 5a . x – 5a . 3 + 1

= 2x$^{2}$ . 2x$^{3}$ – 2x$^{2}$ . 3 + a . 2x$^{3}$ – a . 3 – 5ax – 15a + 1

= 4x$^{5}$ – 6x$^{2}$ + 2ax$^{3}$ – 3a – 5ax – 15a + 1

= 4x$^{5}$ + 2ax$^{3}$ – 6x$^{2}$ – 5ax + (–15a – 3a) + 1

= 4x$^{5}$ + 2ax$^{3}$ – 6x$^{2}$ – 5ax – 18a + 1

b) Đa thức P(x) có các hệ số là 4; 2a; –6; –5a; –18a; 1.

Tổng các hệ số của đa thức P(x) là:

4 + 2a + (–6) + (–5a) + (–18a) + 1 = – 21a – 1.

Theo bài ta có tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng – 37.

Nên – 21a – 1 = – 37.

Suy ra – 21a = – 36

Do đó a = $\frac{36}{21}=\frac{12}{7}.$

Vậy a = $\frac{12}{7}$

a) Ban đầu mực nước ở bể cao x – 1 (dm) nên thể tích nước có ở bể lúc đầu chính là thể tích của hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh x (dm) và chiều cao là x – 1 (dm).

Do đó thể tích nước có ở bể lúc đầu là:

x . x . (x – 1) = x$^{2}$ . (x – 1) = x$^{3}$ – x$^{2}$ (dm$^{3}$).

Vậy thể tích nước có ở bể lúc đầu là x$^{3}$ – x$^{2}$ (dm$^{3}$).

b) Thể tích của khối đá chính là thể tích phần nước dâng lên, bằng với thể tích của hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh x (dm) và chiều cao là 0,5 dm.

Do đó thể tích khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là:

x . x . 0,5 = 0,5x$^{2}$ (dm$^{3}$).

Vậy thể tích khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là: 0,5x$^{2}$ (dm$^{3}$).

c) Thể tích nước và khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là:

x$^{3}$ – x$^{2}$ + 0,5x$^{2}$ = x$^{3}$ + (– x$^{2}$ + 0,5x$^{2}$) = x$^{3}$ – 0,5x$^{2}$ (dm$^{3}$).

Vậy thể tích nước và khối đá mà bạn Khôi thả chìm vào nước trong bể là x$^{3}$ – 0,5x$^{2}$ (dm$^{3}$).

Diện tích khu trồng rau (diện tích hình thang ABDH) là:

$\frac{1}{2}$. 6. [x + (x + 4,5)] = 3 . (2x + 4,5) = 6x + 13,5 (m$^{2}$).

Diện tích khu trồng cây ăn quả (diện tích tam giác BCD) là:

$\frac{1}{2}$. x . x = $\frac{1}{2}$x$^{2}$(m$^{2}$).

Diện tích khu chăn nuôi (diện tích hình chữ nhật HDEG) là:

5 . (x + 4,5) = 5x + 22,5 (m$^{2}$).

Diện tích của mảnh đất đó là:

6x + 13,5 + $\frac{1}{2}$x$^{2}$ + 5x + 22,5

= $\frac{1}{2}$x$^{2}$+ (6x + 5x) + (13,5 + 22,5)

= $\frac{1}{2}$x$^{2}$+ 11x + 36 (m$^{2}$).

Vậy diện tích của mảnh đất đó là $\frac{1}{2}$x$^{2}$+ 11x + 36 (m$^{2}$).

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật là: 37 – x – x = 37 – 2x (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là: 27 – x – x = 27 – 2x (cm).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là độ dài cạnh hình vuông bị cắt đi và bằng x (cm).

Khi đó diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

S(x) = 2. [(37 – 2x) + (27 – 2x)] . x

= 2x . (64 – 4x) = 128x – 8x$^{2}$ (cm$^{2}$).

Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là S(x) = 128x – 8x$^{2}$ (cm$^{2}$).

b) Thay x = 2 vào S(x) = 128x – 8x$^{2}$ ta được:

S(2) = 128 . 2 – 8 . 2$^{2}$ = 256 – 32 = 224 (cm$^{2}$).

Vậy tại x = 2 thì S(x) có giá trị là 224 (cm$^{2}$).

Diện tích của phần cửa có dạng hình chữ nhật là: x(x + 2) = x$^{2}$ + 2x (m$^{2}$).

Cửa có dạng hình tròn có đường kính là x (m) nên có bán kính bằng $\frac{x}{2}$ (m).

Khi đó diện tích của phần cửa có dạng nửa hình tròn là:

$\frac{1}{2}.3{,}14.{(\frac{x}{2})}^{2}=\frac{1}{2}.3{,}14.\frac{{x}^{2}}{4}$ = 0,3925x$^{2}$ (m$^{2}$).

Số mét vuông kính cần sử dụng để ốp cho 1 ô cửa sổ là:

(x$^{2}$ + 2x) + 0,3925x$^{2}$ – 0,42 = 1,3925x$^{2}$ + 2x – 0,42 (m$^{2}$).

Số mét vuông kính cần sử dụng để ốp cho 4 ô cửa sổ là:

4 . (1,3925x$^{2}$ + 2x – 0,42) = 5,57x$^{2}$ + 8x – 1,68 (m$^{2}$).

Vậy cần sử dụng 5,57x$^{2}$ + 8x – 1,68 mét vuông kính để ốp cho 4 ô cửa sổ của ngôi nhà đó.