Giải SBT Toán 7 CD Bài 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác có đáp án

a) Từ $\widehat{A}=3\widehat{B}=6\widehat{C}$ suy ra: $\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{1}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{1}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{6+2+1}=\frac{180^{\circ}}{9}=20^{\circ}$.

Suy ra

• $\widehat{A}=20^{\circ}.6=120^{\circ};$

• $\widehat{B}=20^{\circ}.2=40^{\circ};$

• $\widehat{C}=20^{\circ}.1=20^{\circ}.$

Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là $\widehat{A}=120^{\circ}$ , số đo góc bé nhất là $\widehat{C}=20^{\circ}$ .

b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

${\widehat{A}}_{1}+\widehat{B}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\widehat{B}=40^{\circ}$ (câu a)

Suy ra ${\widehat{A}}_{1}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$ .

Trong DADB có: ${\widehat{A}}_{1}>\widehat{B}$ (do 50° > 40°).

Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AD < BD.

• Xét tam giác ABD có là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

• Vì $\widehat{BDE}$ là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên $\widehat{BDE}=\widehat{A}+\widehat{ABD}$ .

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BDE}$ là góc tù.

Xét tam giác EBD có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

• Vì $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{A}+\widehat{ABE}$

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8

Suy ra 7 < AC < 23.

Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 4$^{2}$ = 16 và AC là số nguyên tố.

Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với 0 < m ≤ n ≤ p.

Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}$.

Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên m + n = 20 (cm).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}=\frac{p}{4}=\frac{m+n}{2+3}=\frac{20}{5}=4$.

Suy ra p = 4 . 4 = 16 (cm).

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\widehat{C}<\widehat{B}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{A}}_{2}$ .

Xét DABD có:${\widehat{A}}_{1}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{1}-\widehat{B}$ (1)

Xét DACD có:${\widehat{A}}_{2}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{ADC}=180^{\circ}-{\widehat{A}}_{2}-\widehat{C}$ (2)

Mà ${\widehat{A}}_{1}={\widehat{A}}_{2}$ (chứng minh trên) và $\widehat{B}>\widehat{C}$ (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

• Xét DACB có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{B}=180^{\circ}$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=110^{\circ},$$\widehat{B}=\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180^{\circ}-110^{\circ}}{2}=35^{\circ}$ .

• Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$ .

• Do AD // EC (giả thiết) nên $\widehat{ADC}+\widehat{ECD}={180}^{o}$ (hai góc trong cùng phía).

Suy ra $\widehat{ECD}={180}^{o}-\widehat{ADC}={180}^{o}-{105}^{o}={75}^{o}.$

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=\widehat{ECD}$(hai góc kề nhau)

Do đó $\widehat{ACE}=\widehat{ECD}-\widehat{ACB}=75^{\circ}-{35}^{o}=40^{\circ}.$

• Trong DACE có: $\widehat{ACE}<\widehat{CAE}$(do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét DEBC có: $\widehat{E}+\widehat{BCE}+\widehat{B}=180^{\circ}$(tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BCE}=75^{\circ},\widehat{B}=35^{\circ}$

Suy ra $\widehat{E}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{BCE}=180^{\circ}-35^{\circ}-75^{\circ}=70^{\circ}$

Trong tam giác BCE có: $\widehat{B}<\widehat{E}<\widehat{BCE}$ (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

Xét DABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét DACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB + AC + BC

Suy ra: $AD<\frac{AB+AC+BC}{2}$

Mà $\frac{AB+AC+BC}{2}$ là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay $a<\frac{a+b+c}{2}$ (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó $a\ge \frac{a+b+c}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{a+b+c}{3}\le a<\frac{a+b+c}{2}$ .

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chi vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.