Giải SBT Toán 12 Đề minh họa Kiểm tra cuối học kì II

Đáp án đúng là: C

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F*'*(x) = f(x), ∀x ∈ K.

Đáp án đúng là: A

Ta có: F(x) = $\int {f\left( x \right)dx}$ = $\int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right)dx}$ = $\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^2}$+ C.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = F(x)}$ ⇒ F*'*(x) = f(x) = 3x$^{2}$

⇒ $\int\limits_1^3 {2f\left( x \right)dx}$ = $\int\limits_1^3 {6{x^2}dx}$ = $\left. {\left( {2{x^3}} \right)} \right|_1^3$ = 52.

Đáp án đúng là: D

Ta có: I = $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}$ = $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx}$= 9 + 4 = 13.

Đáp án đúng là: D

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x$^{2}$, y = −1, x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức S = $\int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right)dx}$.

Đáp án đúng là: A

Vectơ pháp tuyến của (P) là: $\overrightarrow {{n_1}}$ = (3; 0; −1).

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và có một vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow n$ = (1; −2; 3) là:

1(x – 1) – 2(y – 2) + 3(z + 3) = 0

⇔ x – 2y + 3z + 12 = 0

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow u$ = (2; −5; 3).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm M(6; −2; 1) và có một vectơ chỉ phương

$\overrightarrow u$ = (3; 1; −1) là: $\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(−3; −1; 1).

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu có tâm I(2; −1; −2), bán kính bằng 3 là:

(x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x + 2y + 3 = 0 với các hệ số a = 2, b = −1, c = 0 và d = 3.

Bán kính mặt cầu bằng R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline A$).P(B | $\overline A$) = $\frac{2}{7}$.$\frac{1}{4}$ + $\left( {1 - \frac{2}{7}} \right)$.$\frac{1}{5}$ = $\frac{3}{{14}}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: P(B).P(A | B) = P(A).P(B | A)

⇒ P(B) = 0,4.0,3:0,7 = $\frac{6}{{35}}$.

⇒ P($\overline B$) = 1 – P(B) = 1 – $\frac{6}{{35}}$ = $\frac{{29}}{{35}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: F(x) = $\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right)dx}$ = x$^{2}$ – cosx + C.

Đáp án đúng là: A

Ta có: I = $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx}$= $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin xdx}$ = 5 – $\left. {2\cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}$

= 5 – (2cos$\frac{\pi }{2}$ − 2cos0) = 7.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} \right]} = \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3 = 3 + 2\ln 3 - 1 + 0 = 2 + 2\ln 3$

Do đó, a = 2, b = 2, c = 3.

Vậy tổng S = a + b + c = 7.

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay là: V = $\pi {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} ^2}dx$ = $\frac{{4\pi }}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {{n_\alpha }}$ = (3; −2; 2), $\overrightarrow {{n_\beta }}$ = (5; −4; 3) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

$\overrightarrow n$ = $\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&2\\{ - 4}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3\\3&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&{ - 2}\\5&{ - 4}\end{array}} \right|} \right)$ = (2; 1; −2) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng chứa O và vuông góc với cả (α) và (β).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

⇒ 2x + y – 2z = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (1; −2; −2), $\overrightarrow {AC}$ = (2; 0; −3).

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&{ - 2}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right|} \right)$ = (6; 1; 4) là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

6(x – 1) + 1(y + 2) + 4(z – 3) = 0

⇔ 6x + y + 4z – 16 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ = (1; 3; −2) của mặt phẳng (P) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {MN}$ = (2; 2; −2) = 2(1; 1; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Phương trình tham số của đường thẳng MN là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t.\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm của AB. Tọa độ tâm I với I là trung điểm của AB là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 0\\y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\z = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1\end{array} \right.$⇒ I(0; 3; −1).

Bán kính mặt cầu là: R = IA = $\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}$= 3.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

x$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

n(Ω) = 8 + 6 = 14.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi trắng là: $\frac{6}{{14}}$.

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi trắng là: $\frac{5}{{13}}$.

Vậy xác suất để cả hai lần lấy được bi trắng là: $\frac{6}{{14}}$.$\frac{5}{{13}}$= $\frac{{15}}{{91}}$.

Đáp án đúng là: A

Xác suất lấy được viên bi đen lần thứ nhất là: $\frac{8}{{14}}$.

Xác suất để lấy được viên bi trắng ở lần thứ hai là: $\frac{6}{{13}}$.

Vậy xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đen, lần thứ hai lấy được bi trắng là:

$\frac{8}{{14}}$.$\frac{6}{{13}}$= $\frac{{24}}{{91}}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố: “Xạ thủ bắn trúng bia số 1”.

B là biến cố: “Xạ thủ bắn trúng bia thứ 2”.

Ta có: P(A) = 0,8; P(B) = 0,9, P(AB) = 0,75.

Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia thứ nhất, xác suất để xạ thủ bắn trúng bia thứ hai là:

P(B | $\overline A$) = $\frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}9 - 0{,}75}}{{1 - 0{,}8}} = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)$ = 2e$^{x}$ + $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Do đó, $\int {{e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} }$ = 2e$^{x}$ + tanx + C.

Đáp án đúng là: B

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình

−0,01e$^{x}$ + 19 = 0,09e$^{x}$ + 1

⇒ 0,1e$^{x}$ = 18 ⇒ x = ln180.

Suy ra tung độ điểm cân bằng y = 0,09e$^{ln180}$ + 1 = 17,2.

Thặng dư sản xuất cho sản phẩm đã cho là:

$\int\limits_0^{\ln 180} {\left| {17{,}2 - 0{,}09{e^x} - 1} \right|dx}$ ≈ 68,02.

Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm đã cho là:

$\int\limits_0^{\ln 180} {\left| { - 0{,}01{e^x} + 19 - 17{,}2} \right|dx}$ ≈ 7,56.

Đáp án đúng là: C

Xét v(t) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2.

Do vậy, kể từ lúc người lại đạp phanh thì sau 2 giây ô tô dùng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là:

s = $\int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt = \left. {\left( { - \frac{5}{2}{t^2} + 10t} \right)} \right|_0^2}$= 10 (m).

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).

Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (P) là d(C; (P)) = CH = $\frac{{\left| {1.1 + 2.2 - 2.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}$ = 2.

Vùng quan sát là hình tròn tâm H bán kính HA.

Ta có tam giác AHC cân tại C có CH vuông với đáy nên $\widehat {ACH}$ = $\frac{1}{2}\widehat C$ = 65°.

Do đó, AH = CH.tan65°.

Vậy diện tích vùng quan sát là: π.(CH.tan65°)$^{2}$ ≈ 57,8.

Đáp án đúng là: A

Ta có: d$_{1}$ // d$_{2}$ nên hai đường thẳng đó xác định duy nhất một mặt phẳng (P).

Giả sử có đường thẳng d cắt cả 4 đường thẳng đã cho thì d phải thuộc (P).

Ta có d$_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ = (1; −2; 1) và M(3; −1; −1).

d$_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$ = (1; −2; 1) và N(0; 0; 1).

Có $\overrightarrow {MN}$ = (−3; 1; 2).

Vectơ pháp tuyến của (P) là: $\overrightarrow n$ = $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&1\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 2}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|} \right)$ = (−5; −5; 3)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

−5(x – 3) – 5(y + 2) + 3(z – 1) = 0

⇒ 5x + 5y – 3z – 2 = 0.

Nhận thấy d$_{3}$, d$_{4}$ luôn cắt (P) tại hai điểm A, B.

Do đó, có duy nhất 1 đường thẳng AB cắt bốn đường thẳng trên.

Đáp án đúng là: B

Ta có: P: 30°N45°E thì P(cos30°cos45°; cos30°sin45°; sin30°) ⇒ P$\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{1}{2}} \right)$.

Q: 60°N45°E thì Q(cos60°cos45°; cos60°sin45°; sin60°) ⇒ Q$\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

Từ đó, cos$\left( {\widehat {POQ}} \right)$ = $\frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ⇒ $\widehat {POQ}$ = 30°.

Khoảng cách trên mặt đất từ P tới Q là:

$\frac{{30.2\pi }}{{360}}.6371$ ≈ 3 335,8478 km.

Đáp số đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Lấy từ chuồng I ra được thỏ trắng”.

B là biến cố: “Lấy từ chuồng II ra được thỏ trắng”.

Ta có: P(A) = $\frac{{10}}{{16}}$; P($\overline A$) = $\frac{6}{{16}}$.

P(B | A) = $\frac{5}{{13}}$; P(B | $\overline A$) = $\frac{4}{{13}}$.

Vậy P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline A$).P(B | $\overline A$) = $\frac{{10}}{{16}}$.$\frac{5}{{13}}$ + $\frac{6}{{16}}$.$\frac{4}{{13}}$ = $\frac{{37}}{{104}}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi M là biến cố: “Người đó mắc bệnh”;

D là biến cố: “Người đó có xét nghiệm dương tính”.

Ta có: P(M) = 0,01% = 0,0001 ⇒ P($\overline M$) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

Trong số những người không mắc bệnh nhưng có 5% số người có xét nghiệm dương tính nên P(D | $\overline M$) = 5% = 0,05.

Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là 90% nên

P(M | D) = 90% = 0,9.

Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là P(D | M). áp dụng ông thức Bayes, ta có:

P(M | D) = $\frac{{P\left( M \right).P\left( {D|M} \right)}}{{P\left( M \right).P\left( {D|M} \right) + P\left( {\overline M } \right).P\left( {D|\overline M } \right)}}$ = $\frac{{0{,}0001.0{,}9}}{{0{,}0001.0{,}9 + 0{,}9999.0{,}05}}$ = 0,1797%.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Vận động viên được chọn đội I”.

B là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”.

Ta có: P(A) = $\frac{6}{{14}} = \frac{3}{7}$; P($\overline A$) = 1 – P(A) = $\frac{4}{7}$;

P(B | A) = 0,65; P(B | $\overline A$) = 0,55.

Xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I khi vận động viên ấy đạt huy chương vàng được tính theo công thức Bayes là:

P(A | B) = $\frac{{P\left( A \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {A|\overline A } \right)}}$ = $\frac{{\frac{3}{7}.0{,}65}}{{\frac{3}{7}.0{,}65 + \frac{4}{7}0{,}55}} = \frac{{39}}{{83}}$.

Chọn hệ trục Oxy sao cho A(−1,1; 0), B(1,1; 0), khi đó, ta có:C(1,1; 4), D(−1,1; 4),

E(0; 5,5).

Phương trình của parabol có dạng (P): y = ax$^{2}$ + bx + c.

Do (P) đi qua C, D, E nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l}1,{1^2}a + 1{,}1b + c = 4\\{\left( { - 1{,}1} \right)^2}a - 1{,}1b + c = 4\\{0^2}a + 0b + c = 5{,}5\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{150}}{{121}}\\b = 0\\c = 5{,}5\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình (P) có dạng y = $- \frac{{150}}{{121}}$x$^{2}$ + 5,5.

Diện tích của cánh cửa gỗ là:

AB.AD + $\int\limits_{ - 1{,}1}^{1{,}1} {\left| { - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 5{,}5} \right|dx}$

= 2,2.4 + $\int\limits_{ - 1{,}1}^{1{,}1} {\left| { - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 5{,}5} \right|dx}$ = 19,8 (m$^{2}$)

Vậy chi phí sản xuất cánh cửa gỗ đã cho là: 19,8.30 = 594 (triệu đồng).

Ta có: $\overrightarrow u$ = (1; 2; −2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

$\overrightarrow n$ = (2; −1; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó, sin(d, (P)) = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|$ = $\frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}$ = $\frac{2}{{3\sqrt 6 }}$.

⇒ (d,(P)) ≈ 15,79°.

Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh”;

B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ”.

Vì n(A) = 10 nên P(A) = $\frac{{10}}{{16}}$ = $\frac{5}{8}$.

Nếu A xảy ra tức là Sơn lấy được chiếc bút bi xanh thì hộp còn lại 9 chiếc bút bi xanh và 6 chiếc bút bi đỏ.

Do đó, P(B | A) = $\frac{6}{{15}}$.

Theo công thức nhân xác suất:

P(AB) = P(A).P(B | A) = $\frac{5}{8}$.$\frac{6}{{15}}$ = $\frac{1}{4}$.

Vậy xác suất bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh và Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ là $\frac{1}{4}$.