Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương I có đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, y$_{CT}$ = −1

và x = 2, y$_{CT}$ = −2.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = x$^{3}$ + 4x$^{2}$ – 3x + 4

y*'* = 3x$^{2}$ + 8x – 3

y*'* = 0 ⇔ x = $\frac{1}{3}$ hoặc x = −3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = −3, giá trị cực đại là 22.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{1}{3}$, giá trị cực tiểu là $\frac{{94}}{{27}}$.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: y*'* = $\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

y*'* = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1; 2) và (2; 3).

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, trên đoạn [0; 4], giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = −1 khi x = 1.

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số, hàm số có ba điểm cực trị x = −2, x = 1, x = 3.

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, nhận thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−2; 1).

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; −1) và (1; 2).

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = x$^{3}$ – 12x + 6

y*'* = 3x$^{2}$ – 12

y*'* = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −2.

Tính các giá trị, ta được: y(−2) = 22, y(2) = −10, y(−3) = 15, y(3) = −3.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} y = y\left( { - 2} \right) = 22$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: y = $\frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}}$ = x – 3 + $\frac{9}{{x + 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right]$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{9}{{x + 1}}$ = 0.

Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x – 3.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}$ = +∞, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}$ = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}$ = −2, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4x + 3}}{{2x + 2}}$ = −2.

Do đó, đường thẳng y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ (−1; −2).

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

Ta có: y = 2x$^{3}$ – 5x$^{2}$ – 24x – 18

y*'* = 6x$^{2}$ – 10x – 24

y*'* = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = $- \frac{4}{3}$.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)$ và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{4}{3};3} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại x = $- \frac{4}{3}$ và y$_{CĐ}$ = $\frac{{10}}{{27}}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y$_{CT}$ = −81.

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = - \infty$.

Do đó, x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{x - 2}} = 3$.

Do đó, y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

Ta có: P(q) = −q$^{3}$ + 24q$^{2}$ + 780q – 5000 với 0 ≤ q ≤ 50.

P*'*(q) = −3q$^{2}$ + 48q + 780

P*'*(q) = 0 ⇔ q = 26 hoặc q = −10 (loại do 0 ≤ q ≤ 50).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng giảm.

Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26 kg sản phẩm trong một tuần.

Sau khi sản xuất được 26 kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.

Lợi nhuận sản xuất thấp nhất khi xưởng sản xuất tối đa 50 kg.

a) S

b) S

c) Đ

d) S

Ta có: y = $\frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}$ = x – 3 + $\frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}} = + \infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0$

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên x = x – 3.

Ta có: P(t) = 2t$^{3}$ – 33t$^{2}$ + 168t + 137 với 0 < t ≤ 6.

P*'*(t) = 6t$^{2}$ – 66t + 168

P*'*(t) = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = 7 (loại do 7 ∉ (0; 6]).

Ta có bảng xét dấu sau:

Do đó, giá sản phẩm tăng trong 4 tháng đầu năm.

Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy của chiếc hộp hình hộp chữ nhật (x > 0).

Khi đó, chiều cao của chiếc hộp là $\frac{{10}}{{{x^2}}}$ (dm).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S = 2S$_{đáy}$ + S$_{xq}$ = 2x$^{2}$ + 4x.$\frac{{10}}{{{x^2}}}$ = 2x$^{2}$ + $\frac{{40}}{x}$ (dm$^{2}$).

Ta có: S*'* = 4x – $\frac{{40}}{{{x^2}}}$

S*'* = 0 ⇔ x = $\sqrt[3]{{10}}$.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Do đó, diện tích toàn phần nhỏ nhất là S = $6\sqrt[3]{{100}}$ dm$^{2}$ khi x = $\sqrt[3]{{10}}$ dm.

Ta có: y = f(x) = $\frac{{m + 2}}{3}$x$^{3}$ + 2x$^{2}$ + (m + 2)x + 1

Tập xác định: D = ℝ.

TH1: $\frac{{m + 2}}{3}$ = 0 ⇔ m = $- \frac{2}{3}$.

Ta có: y = f(x) = 2x$^{2}$ + $\frac{4}{3}$x + 1

y*'* = 4x + $\frac{4}{3}$

y*'* = 0 ⇔ x = $- \frac{1}{3}$.

Vậy với m = $- \frac{2}{3}$ hàm số có 1 cực trị.

Do đó, m = $- \frac{2}{3}$ loại.

TH 2: $\frac{{m + 2}}{3}$ ≠ 0 ⇔ m ≠ $- \frac{2}{3}$.

Ta có: y = f(x) = $\frac{{m + 2}}{3}$x$^{3}$ + 2x$^{2}$ + (m + 2)x + 1

y*'* = (m + 2)x$^{2}$ + 4x + m + 2

Để hàm số không có cực trị thì (−2)$^{2}$ – (m + 2)(m + 2) ≤ 0 ⇔ (m + 2)$^{2}$ ≥ 4.

Suy ra m ≥ 0 hoặc m ≤ −4.

Để hàm số đã cho là hàm số bậc ba, ta cần có điều kiện: 2 – m ≠ 0 hay m ≠ 2. (*)

Khi đó, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba, ta có:

I$\left( {\frac{1}{{2 - m}}; - 2{{\left( {\frac{1}{{2 - m}}} \right)}^2} + 2} \right)$.

Thay $\frac{1}{{2 - m}}$ bởi x$_{I}$ vào tung độ điểm I, ta có: y$_{I}$ = $- 2x_I^2$ + 2.

Biểu thức cho thấy y$_{I}$ là một hàm số bậc hai theo x$_{r}$.

Suy ra tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc một parabol, đó là đồ thị hàm số y = −2x$^{2}$ + 2.

Mặt khác, x$_{I}$ = $\frac{1}{{2 - m}}$ nên m = 2 – $\frac{1}{{{x_I}}}$.

Vậy với mọi x$_{I}$ ta luôn có m = 2 – $\frac{1}{{{x_I}}}$ ≠ 2 (thỏa mãn *), nghĩa là tâm đối xứng I của đồ thị hàm số đã cho luôn thuộc parabol có phương trình y = −2x$^{2}$ + 2.

y = f(x) = $\frac{{{x^2} + 2x - m}}{{x - 1}}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y*'* = $\frac{{{x^2} - 2x + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Để phương trình có hai cực trị, suy ra phương trình x$^{2}$ – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\\{( - 1)^2} - m + 2 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 3\end{array} \right.$.

Vậy m < 3.

Gọi x (dm) là bán kính đáy hình trụ (x > 0).

Phương án 1:

Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:

V(x) = πx$^{2}$(2 – 2x) với x ∈ $\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]$.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

V(x) đạt giá trị lớn nhất trên $\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]$ là khoảng 0,93 dm$^{3}$ khi x ≈ 0,67 dm.

Phương án 2:

Thể tích lon hình trụ cho bởi công thức:

V(x) = 2πx$^{2}$ với x ∈ $\left( {0;\frac{5}{{2\left( {\pi + 1} \right)}}} \right]$.

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

V(x) đạt giá trị lớn nhất trên $\left( {0;\frac{5}{{2\left( {\pi + 1} \right)}}} \right]$ là khoảng 2,29 dm$^{3}$ khi x ≈0,60 dm.

Vậy thể tích lon hình trụ lớn nhất khi thiết kế theo phương án 2 và bán kính đáy khoảng 0,60dm.

a) Ta có: C(x) = 22x + 50 000 (nghìn đồng).

b) Giá thành một phần ăn là: D(x) = $\frac{{C(x)}}{x} = 22 + \frac{{50000}}{x}$ nghìn đồng.

c) Xét: $22 + \frac{{50000}}{x}$ = 30 ⇔ x = 6250.

Ta có đồ thị hàm số:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy giao điểm của đồ thị hàm số D(x) và đường thẳng y = 30 là điểm có tọa độ (6250; 30). Nghĩa là khi phục vụ được tối thiểu 6250 phần ăn thì chi phí một phần ăn bằng tiền bán một phần ăn (là 30 nghìn đồng).

Đồ thị cũng cho thấy rằng nếu phục vụ ít hơn 6250 phần ăn thì chi phí cho 1 phần ăn cao hơn giá 1 phần ăn, nghĩa là nhà hàng sẽ lỗ.

Như vậy điểm hòa vốn là 6250.

d) Tổng lợi nhuận hằng năm cho x phần ăn là

L(x) = 30x – (22x + 50 000) = 8x – 50 000 (nghìn đồng).

e) Để đạt mục tiêu lợi nhuận hằng năm ít nhất là 120 000 nghìn đồng thì số phần ăn cần bán được phải thỏa mãn bất phương trình sau:

L(x) ≥ 120 000

⇔ 8x – 50 000 ≥ 120 000

⇔ x ≥ 21 250.

Kết quả cho thấy hằng năm, nhà hàng cần phục vụ được tối thiểu 21 250 phần ăn thì mới có lợi nhuận như mong muốn.

Do nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm nên trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ số phần ăn là:

21 250 : 300 ≈ 70,8 phần ăn.

Vậy để đạt mục tiêu, trung bình mỗi ngày nhà hàng cần phục vụ ít nhất 71 phần ăn.

a) Ta có: V = 800 = 8xy ⇒ y = $\frac{{800}}{{8x}} = \frac{{100}}{x}$.

b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

S(x) = 2(x + y).8 + 2xy = 16$\left( {x + \frac{{100}}{x}} \right)$ + 2x. $\frac{{100}}{x}$ = 16x + $\frac{{1600}}{x}$ + 200.

c) S(x) = 16x + $\frac{{1600}}{x}$ + 200, với x > 0.

S*'*(x) = 16 – $\frac{{1600}}{{{x^2}}}$

S*'*(x) = 0 ⇔ x$^{2}$ = 100 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (10; +∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 10).

d) Khi x = 10 thì hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất và S(10) = 520.

Lúc này, y = $\frac{{100}}{x} = \frac{{100}}{{10}}$ = 10, nghĩa là khi làm đáy hộp là hình vuông có cạnh bằng 10 cm thì sẽ tiết kiệm vật liệu nhất.