Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án

Ta có:

IA = $\sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 6 < 5$ hay IA < R.

Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu (S).

IB = $\sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 11} \right)}^2} + {{\left( {4 - 14} \right)}^2}}$ $= \sqrt {253} > 5$ hay IB > R.

Do đó, điểm B nằm ngoài mặt cầu (S).

IC = $\sqrt {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}}$ = 5 = R.

Do đó, điểm C nằm trên mặt cầu (S).

a) (S) có tầm I(−5; 7; 6) và bán kính R = 9 nên có phương trình là:

(x + 5)$^{2}$ + (y – 7)$^{2}$ + (z – 6)$^{2}$ = 9$^{2}$ hay (x + 5)$^{2}$ + (y – 7)$^{2}$ + (z – 6)$^{2}$ = 81.

b) (S) có tâm I(0; −3; 0) và đi qua điểm M(4; 0; −2) có:

Bán kính R = IM = $\sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {29}$.

Phương trình mặt cầu (S) là: x$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + z$^{2}$ = 29.

c) Tâm I của mặt cầu (S) đường kính EF chính là trung điểm của EF.

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 11}}{2} = 6\\{y_I} = \frac{{5 + 3}}{2} = 4\\{z_1} = \frac{{9 + 1}}{2} = 5\end{array} \right.$ ⇒ I(6; 4; 5).

Bán kính R = IE = $\sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2} + {{\left( {9 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {42}$.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 6)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ + (z – 5)$^{2}$ = 42.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(7; 3; −4) và bán kính R = 7.

b) Mặt cầu (S') có tâm I(0; −1; 2) và bán kính R = $\sqrt {11}$.

c) Mặt cầu (S'') có tâm I(0; 0; 0) và bán kính R = 5.

a) Phương trình 4x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 14y – 7z + 4 = 0 không phải là phương trình mặt cầu do hệ số của x$^{2}$ và y$^{2}$khác nhau.

b) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$+ 6x – 4y – 4z – 19 = 0 có dạng

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −3; b = 2; c = 2; d = −19.

Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ − d = 9 + 4 + 4 + 19 = 36 > 0, suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(−3; 2; 2), bán kính R = .

c) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x – 4y – 6z + 40 = 0, có dạng:

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 2; b = 2, c = 3 và d = 40.

Ta thấy a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = 4 + 4 + 9 – 40 = −23 < 0.

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3{,}25t.\end{array} \right.$

Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:

(24 + t – 24)$^{2}$ + (24 + t – 24)$^{2}$ + (24 + 3,25t – 24)$^{2}$ = 100 ⇔ t = $\pm \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}}$.

Vậy d cắt (S) tại hai điểm $M\left( {24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 + \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)$ hoặc

$M'\left( {24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{40\sqrt {201} }}{{201}};24 - \frac{{130\sqrt {201} }}{{201}}} \right)$.

b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {1;1;3{,}25} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có: cos(d; Oz) = $\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {3{,}25} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + 3,{{25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0{,}917$.

Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.

a) Gọi (S) là mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của đèn trên hải đẳng trong không gian Oxyz.

Mặt cầu (S) có tâm I(20; 40; 60) và bán kính R = 3000, suy ra (S) có phương trình:

(x – 20)$^{2}$ + (y – 40)$^{2}$ + (z – 60)$^{2}$ = 9 000 000.

b) Ta có: IM = $\sqrt {{{400}^2} + {{300}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} = 20\sqrt {634}$ ≈ 504 < 3000, suy ra IM < R.

Do đó, người này có thể nhìn thấy được ánh sáng của đèn trên hải đăng.

a) Ta có mặt cầu (S): (x – 20)$^{2}$ + (y – 30)$^{2}$ + (z – 10)$^{2}$ = 400 có tâm I(20; 30; 10) và bán kính R = 20 m.

Ta có: IJ = d(I, (P)) = 10 m.

b) Ta có điểm M thuộc mặt cầu (S) nên IM = R = 20 m. Trong tam giác IJM vuông tại J, ta có: JM = $\sqrt {I{M^2} - {\rm{I}}{{\rm{J}}^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{10}^2}} = 10\sqrt 3 \approx 17{,}32$ (m).