Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 5\\z = 7t\end{array} \right.$.

b) Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {2;2;3} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 1 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$.

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{{x - 9}}{5} = \frac{x}{{ - 11}} = \frac{z}{4}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;3} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\frac{{x - 6}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{3}$.

c) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 1 + 7t\\z = 3 - 6t\end{array} \right.$

⇒ $\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{x}{2}\\t = \frac{{y + 1}}{7}\\t = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}\end{array} \right.$

nên phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{7} = \frac{{z - 3}}{{ - 6}}$.

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 1) và nhận $\overrightarrow a$ = (1; 3; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d*'* đi qua điểm M*'*(2; 7; −1) và nhận $\overrightarrow {a'}$= (2; 6; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( {2;6; - 2} \right)\\\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a = \overrightarrow {MM'} \end{array} \right.$, suy ra $\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} ,\overrightarrow {MM'}$ cùng phương.

Do đó d ≡ d*'*.

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow a$ = (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d*'* đi qua điểm M*'*(0; 0; 0) và nhận $\overrightarrow {a'}$= (4; 6; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\\\overrightarrow {a'} = 2\overrightarrow a \\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\0&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&3\\2&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;2; - 6} \right) \ne \overrightarrow {0.} \end{array} \right.$

Do đó d ∥ d*'*.

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 2) và nhận $\overrightarrow a$ = (1; 1; −1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d*'* đi qua điểm M*'*(2; 2; 1) và nhận $\overrightarrow {a'}$= (2; 3; 1) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MM'} = \left( {1;0;5} \right)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0.\end{array} \right.$

Do đó hai đường thẳng d và d*'* chéo nhau.

a) Ta có: cosα = $\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.5 + 1.2 - 1.7}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2} + {7^2}} }} = 0$ ⇒ α = 90°.

b) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d*'* lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)$ và $\overrightarrow {a'} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)$.

Khi đó, cosα = $\frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - \sqrt 3 } \right) + \left( { - \sqrt 3 } \right).2 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ ⇒ α = 30°.

c) Ta có vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là $\overrightarrow n = \left( {4;2; - 1} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;1;6} \right)$.

Khi đó cosα = $\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {4.1 + 2.1 - 1.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {6^2}} }} = 0$ ⇒ α = 90°.

d) Ta có vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) lần lượt là $\overrightarrow a = \left( {2; - 1;1} \right),\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Khi đó sinα = $\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.1 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0$ ⇒ α = 0°.

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Ta có: S(0; 0; 6), A(2; 0; 0), B(−2; 0; 0), C(−2; 4; 0), D(2; 4; 0).

a) Ta có: $\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;4;0} \right)$.

Suy ra cosα = $\frac{{\left| {\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 4.4 - 6.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {4^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{7}$ ⇒ α ≈ 57,7°.

b) Mặt phẳng (SAD) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)$, $\overrightarrow {SA} = \left( {2;0; - 6} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {SA} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&{ - 6}\\0&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 6}&2\\{ - 6}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&4\\2&0\end{array}} \right|} \right)$ = (−24; 0; −8) = −8(3; 0; 1).

Vậy $\overrightarrow n = \left( {3;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của (SAD).

Mặt phẳng (SCD) có cặp vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow {DC} = \left( { - 4;0;0} \right)$, $\overrightarrow {SD} = \left( {2;4; - 6} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&{ - 6}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 6}&2\\0&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&4\\{ - 4}&0\end{array}} \right|} \right)$ = (0; 24; 16) = 8(0; 3; 2).

Vậy $\overrightarrow {n'} = \left( {0;3;2} \right)$.

Suy ra cosβ = $\frac{{\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {3.0 + 0.3 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {130} }}$ ⇒ β ≈ 79,9°.

a) Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;4;3} \right),\overrightarrow {NA} = \left( {5;2;4} \right)$, suy ra

MA = $\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}}$= $\sqrt {34}$≈ 5,8 (m),

NA = $\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {45}$ ≈ 6,7 (m).

b) Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {OM} = \left( {3; - 4;3} \right),\overrightarrow {ON} = \left( { - 5 - 2;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 4}&3\\{ - 2}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&3\\2&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)$

= (−2; −21; −26).

Gọi α, β lần lượt là góc tạo bởi MA, NA với mặt phẳng (AMN).

Ta có: sinα = $\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\left( { - 21} \right) + 3.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}$

= $\frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}$.

⇒ α ≈ 53°;

Sinβ = $\frac{{\left| {\overrightarrow {NA} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NA} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 21} \right) + 4.\left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }}$

$= \frac{{156}}{{\sqrt {50445} }}$.

⇒ β ≈ 44°.