Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline x$ = $\frac{{2{,}5.5 + 3{,}5.19 + 4{,}5.24 + 5{,}5.10 + 6{,}5.6}}{{64}}$ ≈ 4,3906.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

s2 = $\frac{1}{{64}}\left( {5.2,{5^2} + 19.3,{5^2} + 24.4,{5^2} + 10.5,{5^2} + 6.6,{5^2}} \right) - 4,{3906^2}$ ≈ 1,13.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: s ≈ $\sqrt {1{,}13}$ ≈ 1,06.

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Cỡ mẫu là: n = 9 + 15 + 12 + 4 = 40

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline x$ = $\frac{{4{,}95.9 + 5{,}05.15 + 5{,}15.12 + 5{,}25.4}}{{40}}$ ≈ 5,0775.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

s2 = $\frac{{\left( {9.4,{{95}^2} + 15.5,{{05}^2} + 12.5,{{15}^2} + 4.5,{{25}^2}} \right)}}{{40}} - 5,{0775^2}$ ≈ 0,0085.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s = $\sqrt {0{,}0085}$ ≈ 0,09.

Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Cỡ mẫu là: n = 12 + 21 + 25 + 12 + 9 = 79.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x$ = $\frac{{12.16{,}45 + 21.16{,}95 + 25.17{,}45 + 12.17{,}95 + 9.18{,}45}}{{79}}$ ≈ 17,3551.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s$^{2}$ = $\frac{{\left( {12.16,{{45}^2} + 21.16,{{95}^2} + 25.17,{{45}^2} + 12.17,{{95}^2} + 9.18,{{45}^2}} \right)}}{{79}} - 17,{3551^2}$ ≈ 0,36.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s ≈ $\sqrt {0{,}36}$ = 0,6.

a) Ta có bảng tần số ghép nhóm là:

b) Ta có bảng giá trị đại diện của mẫu số liệu trên:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

$\overline x$ = $\frac{{48.7{,}5 + 36.22{,}5 + 18.37{,}5 + 12.52{,}5 + 6.67{,}5}}{{120}}$ = 24.

Phương sai của mẫu số của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s$^{2}$ = $\frac{{7,{5^2}.48 + 22,{5^2}.36 + 37,{5^2}.18 + 52,{5^2}.12 + 67,{5^2}.6}}{{120}} - {24^2}$ = 312,75.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s = $\sqrt {312{,}75}$ ≈ 17,68.

a) Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2022 là:

R$_{2022}$ = 150 – 110 = 40 (g).

Khoảng biến thiên của cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023 là:

R$_{2023}$ = 140 – 100 = 40 (g).

Nếu so sánh theo khoảng biến thiên thì độ đồng đều của cân nặng các trái cam thu hoạch trong hai năm không có sự khác biệt.

b) Với mẫu số liệu năm 2022, ta có:

Cỡ mẫu là: n$_{2022}$ = 0 + 24 + 35 + 14 + 6 = 79.

Có: $\frac{{{n_{2022}}}}{4} = \frac{{79}}{4} = 19{,}75$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{20}$ ∈ [110; 120).

Do đó, Q$_{1}$ = 110 + $\frac{{19{,}75 - 0}}{{24}}\left( {120 - 110} \right)$ = $\frac{{5675}}{{48}}$.

Có: $\frac{{3{n_{2023}}}}{4} = \frac{{3.79}}{4} = 59{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{60}$ ∈ [130; 140).

Do đó, Q$_{3}$ = 130 + $\frac{{59{,}25 - \left( {24 + 35} \right)}}{{14}}\left( {140 - 130} \right)$ = $\frac{{3645}}{{28}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q$_{2022}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{{3645}}{{28}}$ − $\frac{{5675}}{{48}}$ ≈ 11,95.

Với mẫu số liệu năm 2023, ta có:

Cỡ mẫu: n$_{2023}$ = 14 + 23 + 26 + 24 + 0 = 87.

Có: $\frac{{{n_{2023}}}}{4} = \frac{{87}}{4} = 21{,}75$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{22}$ ∈ [110; 120).

Do đó, Q$_{1}$ = 110 + $\frac{{21{,}75 - 14}}{{23}}\left( {120 - 110} \right)$ = $\frac{{5215}}{{46}}$.

Có: $\frac{{3{n_{2023}}}}{4} = \frac{{3.87}}{4} = 65{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{66}$ ∈ [130; 140).

Do đó, Q$_{3}$ = 130 + $\frac{{65{,}25 - \left( {14 + 23 + 26} \right)}}{{24}}\left( {140 - 130} \right)$ = $\frac{{2095}}{{16}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q$_{2023}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{{2095}}{{16}}$ − $\frac{{5215}}{{46}}$ ≈ 17,57.

Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch trong năm 2023.

c) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _{2022}}$ = $\frac{{24.115 + 125.35 + 135.14 + 145.6}}{{79}}$ = $\frac{{9895}}{{79}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2022}^2$ = $\frac{{{{24.115}^2} + {{125}^2}.35 + {{135}^2}.14 + {{145}^2}.6}}{{79}} - {\left( {\frac{{9895}}{{79}}} \right)^2}$ ≈ 78,41.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline x _{2023}}$ = $\frac{{105.14 + 115.23 + 125.26 + 135.24}}{{87}}$ = $\frac{{3535}}{{29}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2023}^2$ = $\frac{{{{105}^2}.14 + {{115}^2}.23 + {{125}^2}.26 + {{135}^2}.24}}{{87}} - {\left( {\frac{{3535}}{{29}}} \right)^2}$ ≈ 106,76.

Do $s_{2023}^2$ > $s_{2022}^2$ nên khi so sánh theo phương sai thì cân nặng các cam thu hoạch năm 2022 đồng đều hơn cân nặng các trái cam thu hoạch năm 2023.

a) Ta có bảng số liệu các giá trị đại diện như sau:

Xét mẫu số liệu năm 2022:

Cỡ mẫu là n$_{2022}$ = 11 + 15 + 7 + 5 = 38.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R$_{2022}$ = 24,2 – 23,7 = 0,5 (giây).

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{38}}{4}$ = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{10}$ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q$_{1}$ = 23,7 + $\frac{{9{,}5 - 0}}{{11}}.\left( {23{,}8 - 23{,}7} \right)$ = $\frac{{5233}}{{220}}$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.38}}{4}$ = 28,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{29}$ ∈ [23,9; 24).

Do đó, Q$_{3}$ = 23,9 + $\frac{{28{,}5 - \left( {11 + 15} \right)}}{7}\left( {24 - 23{,}9} \right)$ = $\frac{{3351}}{{140}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q$_{2022}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{{3351}}{{140}}$ − $\frac{{5233}}{{220}}$ ≈ 0,149.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline x _{2022}}$ = $\frac{{23{,}75.11 + 23{,}85.15 + 23{,}95.7 + 24{,}15.5}}{{38}}$ = $\frac{{4537}}{{190}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_{2022}^2$ = $\frac{{23,{{75}^2}.11 + 23,{{85}^2}.15 + 23,{{95}^2}.7 + 24,{{15}^2}.5}}{{38}} - {\left( {\frac{{4537}}{{190}}} \right)^2}$ ≈ 0,016.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s$_{2022}$ ≈ $\sqrt {0{,}016}$ ≈ 0,126.

Xét mẫu số liệu năm 2023:

Cỡ mẫu là: n$_{2023}$ = 28 + 18 + 4 = 50.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R$_{2023}$ = 24 – 23,7 = 0,3 (giây).

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{50}}{4}$ = 12,5.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là x$_{13}$ ∈ [23,7; 23,8).

Do đó, Q$_{1}$ = 23,7 + $\frac{{12{,}5 - 0}}{{28}}.\left( {23{,}8 - 23{,}7} \right)$ = $\frac{{13297}}{{560}}$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.50}}{4}$ = 37,5.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là x$_{38}$ ∈ [23,8; 23,9).

Do đó, Q$_{3}$ = 23,8 + $\frac{{37{,}5 - 28}}{{18}}\left( {23{,}9 - 23{,}8} \right)$ = $\frac{{8587}}{{360}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆Q$_{2023}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = $\frac{{13297}}{{560}}$ − $\frac{{8587}}{{360}}$ ≈ 0,108.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

${\overline x _{2023}}$ = $\frac{{23{,}75.28 + 23{,}85.18 + 23{,}95.4}}{{50}}$ = $\frac{{11901}}{{500}}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s_{2023}^2$ = $\frac{{23,{{75}^2}.28 + 23,{{85}^2}.18 + 23,{{95}^2}.4}}{{50}} - {\left( {\frac{{11901}}{{500}}} \right)^2}$≈ 0,004.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

s$_{2023}$ ≈ $\sqrt {0{,}004}$ ≈ 0,063.

b) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên, theo khoảng tứ phân vị hoặc theo phương sai, độ lệch chuẩn thì ta luôn có thời gian chạy năm 2023 đồng đều hơn thời gian chạy năm 2022.