Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có đáp án

Do P(A) = 0,4 nên P($\overline A$) = 1 – 0,4 = 0,6.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A)P(B | A) + P($\overline A$)P(B | $\overline A$) = 0,4.0,3 + 0,6.0,2 = 0,24.

Từ đó, suy ra ta có P($\overline B$) = 1 – P(B) = 1 – 0,24 = 0,76.

Mặt khác, do P(B | A) = 0,3 nên P($\overline B$| A) = 1 – 0,3 = 0,7.

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}4.0{,}7}}{{0{,}76}} = \frac{7}{{19}}$ ≈ 0,368.

a) Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Gọi A là biến cố “2 thẻ được chọn từ hộp thứ hai đều có màu đỏ” và B là biến cố “2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.

Như vậy, từ sơ đồ hình cây, ta có xác suất 2 thẻ được chọn ra từ hộp thứ hai đều có màu đỏ là P(A) = $\frac{3}{5}.\frac{1}{{45}} + \frac{2}{5}.\frac{1}{{15}} = 0{,}04$.

b) Xác suất để 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là P(B) = $\frac{3}{5}$= 0,6.

Xác suất để 2 thẻ được chọn từ hộp thứ hai đều có màu đỏ, biết rằng 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là P(A | B) = $\frac{1}{{45}}$.

Theo công thức Bayes, xác suất của biến cố 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 thẻ được chọn ra từ hộp thứ hai đều có màu đỏ là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}6.\frac{1}{{45}}}}{{0{,}04}} = \frac{1}{3}$≈ 0,333.

a) Gọi A là biến cố :” Tài xế sử dụng xe 7 chỗ” và B là biến cố “Tài xế là nam”.

Do ở khu vực đó có 35% tài xế ô tô là nữ nên P($\overline B$) = 0,35 và P(B) = 1 – 0,35 = 0,65.

Do 12% tài xế nữ sử dụng xe 7 chỗ và 25% tài xế nam sử dụng xe 7 chỗ nên

P(A | B) = 0,25 và P(A | $\overline B$) = 0,12.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất tài xế được chọn là nam, biết rằng tài xế đó được sử dụng xe 7 chỗ là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}65.0{,}25}}{{0{,}2045}} = \frac{{325}}{{409}}$ ≈ 0,795.

a) Gọi A là biến cố “Người dùng mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng” và B là biến cố “Người dùng sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên”.

Do tỉ lệ người sử dụng hai phiên bản Basic và Pro lần lượt là 80% và 20% nên

P(B) = 0,8 và P($\overline B$) = 0,2.

Qua kết quả điều tra, có 30% người dùng phiên bản Basic sẽ mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng, còn tỉ lệ của phiên bản Pro là 50% nên P(A | B) = 0,3 và P(A |$\overline B$) = 0,5.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người được chọn mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là:

P(A) = P(B)P(A | B) + P( $\overline B$)P(A | $\overline B$) = 0,8.0,3 + 0,2.0,5 = 0,34.

b) xác suất người được chọn sử dụng phiên bản Basic ở năm đầu tiên, biết rằng người dùng đó mua bản cập nhật sau 1 năm sử dụng là

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}8.0{,}3}}{{0{,}34}} = \frac{{12}}{{17}}$ ≈ 0,706.

Gọi A là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão mắc bệnh tim mạch” và B là biến cố “Một người ở trại dưỡng lão hút thuốc”.

Do ở trại dưỡng lão đó, tỉ lệ người đó mắc bệnh tim mạch là 25% nên

P(A) = 0,25 và P($\overline A$) = 1 – 0,25 = 0,75.

Gọi tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch là a (0 ≤ a ≤ 1) Do tỉ lệ người hút thuốc trong số những người mắc bệnh tim mạch gấp 2 lần tỉ lệ người hút thuốc trong số những người không mắc bệnh tim mạch nên P( B | $\overline A$) = a và P(B | A) = 2a.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một người ở trại dưỡng lão hút thuốc là

P(A | B) = $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}25.2a}}{{1{,}25a}} = 0{,}4.$

Gọi A là biến cố “Một máy tính sử dụng hệ điều hành X” và B là biến cố “Một máy tính bị nhiễm virus”.

Do ở trường đại học đó có 35% số máy tính sử dụng hệ điều hành X nên P(A) = 0,35 và P($\overline A$) = 1 – 0,35 = 0,65.

Gọi tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các máy không dùng hệ điều hành X là a

(0 ≤ a ≤ 1). Do tỉ lệ máy tính bị nhiễm virus trong số các ấy không dùng hệ điều hành X nên P(B | $\overline A$) = a và P(B | A) = 4a.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất một máy tính tại trường đại học đó bị nhiễm virus là

P(B) = P(A)P(B | A) + P($\overline A$)P(B | $\overline A$) = 0,35.4a + 0,65.a = 2,05a.

Theo công thức Bayes, xác suất một máy tính sử dụng hệ điều hành X, biết rằng máy tính đó nhiễm virus là: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}35.4a}}{{2{,}05a}} = \frac{{28}}{{41}}$ ≈ 0,683.