Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Xác suất có điều kiện có đáp án

a) Gọi A là biến cố “Tấm thẻ được chọn có màu đỏ”, B là biến cố “Tấm thẻ được chọn ghi số chẵn”. Ta cần tính P(A | B).

Cách 1:

Do từ 1 đến 15 có 7 số chẵn nên có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn.

Trong 7 tấm thẻ được ghi số chẵn, có 5 thẻ có số không lớn hơn 10 nên được sơn màu đỏ. Do đó, trong tổng số 7 tấm thẻ được ghi số chẵn có 5 tấm thẻ màu đỏ.

Vậy xác suất để thẻ được chọn có màu đỏ, biết rằng nó được ghi số chẵn là

P(A | B) = $\frac{5}{7}$≈ 0,71.

Cách 2:

Do có 7 tấm thẻ được ghi số chẵn trong tổng số 15 tấm thẻ nên P(B) = $\frac{7}{{15}}$.

Do có 5 tấm thẻ có màu đỏ được ghi số chẵn trong tổng số 15 thẻ nên P(AB) = $\frac{5}{{15}}.$

Vậy P(A | B) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{5}{{15}}:\frac{7}{{15}} = \frac{5}{7}$ ≈ 0,71.

b) Hộp chứa 5 tấm thẻ màu xanh, trong đó có 2 tấm thẻ ghi số chẵn.

Vậy P(B | $\overline A$) = $\frac{2}{5}$ = 0,4.

Gọi A là biến cố “Học sinh được chọn là nữ”, B là biến cố “Học sinh được chọn bị cận thị”. Ta cần tính P(B | A).

Do có 40% học sinh là nam nên P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

Do có 20% học sinh nữ bị cận thị trong tổng số học sinh của lớp nên P(AB) = 0,2.

Vậy P(B | A) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{1}{3}$ ≈ 0,33.

Theo công thức nhân xác suất, ta có:

P(AB) = P(B)P(A | B) = 0,3.0,6 = 0,18.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(B | A) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}18}}{{0{,}7}}$ ≈ 0,26.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Do đó, P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0,4 + 0,8 – 0,9 = 0,3.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}8}}$ = 0,375.

Vì $A\overline B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $A\overline B$∪ AB = A nên theo tính chất của xác suất, ta có P($A\overline B$) = P(A) – P(AB) = 0,4 – 0,3 = 0,1.

Ta có: P($\overline B$) = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có: P(A | $\overline B$) = $\frac{{P\left( {\overline A |B} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}1}}{{0{,}2}} = 0{,}5.$

Ta có: P($\overline A$ | B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,375 = 0,625.

P($\overline A$ | $\overline B$) = 1 – P(A | $\overline B$) = 1 – 0,5 = 0,5.

Vì $\overline A B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $\overline A B$ ∪ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P(B) = P($\overline A B$) + P(AB) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Ta có: P($\overline B$) = 1 – P(B) = 1 – 0,5 = 0,5.

Theo công thức tinh xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}3}}{{0{,}5}} = 0{,}6$; P(A | $\overline B$) = $\frac{{P\left( {A\overline B } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0{,}4}}{{0{,}5}} = 0{,}8$.

Ta có: P($\overline A$ | B) = 1 – P(A | B) = 1 – 0,6 = 0,4.

P($\overline A$ | $\overline B$) = 1 – P(A | $\overline B$) = 1 – 0,8 = 0,2.

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên theo tính chất của xác suất, ta có:

P(AB) = P(A)P(B) = 0,4.0,8 = 0,32.

Do đó, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,4 + 0,8 – 0,32 = 0,88.

Vì 0 ≤ P(A∪ B) ≤ 1 nên ta có:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 1,6 – P(A ∪ B) ≥ 0,6.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện, ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} \ge \frac{{0{,}6}}{{0{,}8}} = 0{,}75.$

Vậy P(A | B) ≥ 0,75.

Gọi A là biến cố “Tài xế không gặp sự cố trong năm đầu tiên lái xe”, B là biến cố “Tài xế không gặp sự cố trong năm thứ hai lái xe”.

Ta có: P($\overline A$) = 0,1; P($\overline B$ | $\overline A$) = 0,2; P($\overline B$ | A) = 0,05.

Do đó, P(A) = 1 – P($\overline A$) = 1 – 0,1 = 0,9; P(B | $\overline A$) = 1 – P($\overline B$ | $\overline A$) = 1 – 0,2 = 0,8.

P(B | A) = 1 – P($\overline B$ | A) = 1 – 0,05 = 0,95.

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Xác suất để một tài xế không gặp sự cố nào trong 2 năm đầu tiên lái xe là P(AB) = 0,855.

b) Xác suất để một tài xế gặp sự cố trong cả 2 năm đầu tiên lái xe là P($\overline A \overline B$) = 0,02.

Gọi A là biến cố “Một người thường xuyên tập thể dục”, B là biến cố “Một người bị béo phì”. Ta có: P(B) = 0,15; P(AB) = 0,02; P(A) = 0,4.

Do đó, P($\overline A$) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6.

Vì $\overline A B$ và AB là hai biến cố xung khắc và $\overline A B$ ∪ AB = B nên theo tính chất của xác suất, ta có P($\overline A B$) = P(B) – P(AB) = 0,15 – 0,02 = 0,13.

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó không thường xuyên tập thể dục là P(B | $\overline A$) = $\frac{{P\left( {\overline A B} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0{,}13}}{{0{,}6}} = \frac{{13}}{{60}}.$

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó thường xuyên tập thể dục là P(B | A) = $\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}02}}{{0{,}4}} = \frac{1}{{20}} = 0{,}05.$

Ta có: $\frac{{P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( {B|A} \right)}} = \frac{{13}}{{60}}:\frac{1}{{20}} = \frac{{13}}{3} \approx 4{,}33.$

Vậy theo kết quả điều tra trên, việc tập thể dục sẽ làm giảm khả năng bị béo phì khoảng 4,33 lần.

Gọi A là biến cố “Sản phẩm được chọn đầu tiên là xấu”, B là biến cố “Sản phẩm được chọn thứ hai là xấu”.

Ta có: P(A) = $\frac{2}{{10}} = 0{,}2$; P($\overline A$) = 1 – P(A) = 1 – 0,2 = 0,8.

Khi biết sản phẩm đầu tiên là tốt thì còn lại 2 sản phẩm xấu trong tổng số 9 sản phẩm.

Do đó, P(B | $\overline A$) = $\frac{2}{9}$.

Theo công thức nhân xác suất, ta có: $P\left( {\overline A B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}8.\frac{2}{9} = \frac{8}{{45}}.$

Một hộp không được chấp nhận nếu sản phẩm được chọn đầu tiên là xấu hoặc sản phẩm được chọn đầu tiên là tốt, sản phẩm được chọn thứ hai là xấu.

Vậy xác suất để hộp đó không được chấp nhận là

$$P\left( A \right) + P\left( {\overline A B} \right) = 0{,}2 + \frac{8}{{45}} = \frac{{17}}{{45}} \approx 0{,}38.$$