Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian có đáp án

a) Các vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp không cùng nằm trên một mặt của hình hộp với điểm B là: $\overrightarrow {BD'}$.

b) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {BC}$ là $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {B'C'}$.

c) Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {BD}$ là $\overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {D'B'}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {OC}$ = $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CB}$.

b) Dựng hình hộp OADB.CFEK

Ta có: $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$ = $\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE}$.

Gọi $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm O như Hình 2.

Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {OA}$, $\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB}$, $\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {OC}$.

Độ lớn các lực: F1 = OA = 10 N, F2 = OB = 8 N, F3 = OC = 6 N.

Dựng hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}$.

Suy ra ${\overrightarrow {OD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$

Mà $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ = OA.OB.cos$\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$

⇒ OD2 = OA2 + OB2 + 2OA.OB.cos120°.

Dựng hình bình hành ODEC.

Tổng lực tác động vào vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}$.

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là F = OE.

Vì $OC \bot \left( {OADB} \right)$ nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác ODE vuông tại D.

Khi đó, OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2OA.OB.cos120°.

Suy ra OE = $\sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB\cos 120^\circ }$

= $\sqrt {{6^2} + {{10}^2} + {8^2} + 2.10.8.\cos 120^\circ }$ ≈ 10,95.

Do đó, F = OE ≈ 10,95 N.

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ = $\overrightarrow {AC'}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|$ = AC' = 2AO = 2a.

b) Ta có: $\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {A'A}$ = $\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {C'A}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right| = \left| {\overrightarrow {C'A} } \right| = C'A = 2a$.

a) Ta có: $\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'}$ = $\left( {\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OD'} } \right)$ = $2\overrightarrow {OO'} + 2\overrightarrow {OO'}$ = $4\overrightarrow {OO'}$.

b) Ta có bốn đường chéo của hình lập phương cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường chéo nên I cũng là trung điểm của DB'. Suy ra $\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {DB'} = 2\overrightarrow {DI}$.

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$ = $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right)$ = AD.AB.cos$\widehat {BAD}$ = a.a.cos60° = $\frac{{{a^2}}}{2}$.

b) $\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC}$ = $\left| {\overrightarrow {DA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} } \right)$ = DA.DC.cos$\widehat {ADC}$ = a.a.cos120° = $- \frac{{{a^2}}}{2}$.

c) $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC}$ = $\overrightarrow {AA'} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}$ = $\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}$ = a2.

Áp dụng công thức tính công, ta có:

A = $\left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right)$ = 2000.3000.cos30° ≈ 5 196 152 (J).

Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài của AB, AD, AA' và AC'.

Ta có: $A{C'^2} = A{B^2} + A{D^2} + A{A'^2}$

⇔ d2 = a2 + b2 + c2, cosx = $\frac{a}{d}$, cosy = $\frac{b}{d}$, cosz = $\frac{c}{d}$.

Suy ra cos2x + cos2y + cos2z = ${\left( {\frac{a}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2}$= $\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{d^2}}}{{{d^2}}} = 1$.

Vậy cos2x + cos2y + cos2Z = 1.

Ta có:

AC = BD = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{8^2} + {{12}^2}} = 4\sqrt {13}$,

SO = $\sqrt {S{C^2} - OC{}^2}$ = $\sqrt {{{12}^2} - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}$ = $2\sqrt {23}$,

sin$\widehat {SCO}$= $\frac{{SO}}{{SC}}$ = $\frac{{2\sqrt {23} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {23} }}{6}$.

Gọi P là độ lớn của trọng lực xe và khung sắt nâng.

Ta có: P = (1900 + 100).10 = 20 000 (N).

Gọi F là độ lớn của lực căng trên mỗi sợi cáp.

Ta có: Fsin$\widehat {SCO} = \frac{P}{4}$, suy ra F = $\frac{P}{{4\sin \widehat {SCO}}} = \frac{{20000}}{{4\frac{{\sqrt {23} }}{6}}}$ ≈ 6 255 (N).