Giải SBT Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm

Giá trị của tham số m để hàm số y = $\frac{1}{3}$x$^{3}$ – mx$^{2}$ + 4x – 2023 đạt cực trị tại x = −2 là

A. Không tồn tại m.

B. m = −2.

C. m = 2.

D. m = 0.

Cho hàm số y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 1 có đồ thị (C). Xét đường thẳng đi qua điểm A(−3; 1) và có hệ số góc k. Điều kiện của k để đường thẳng đó cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt là

A. 0 < k < 1.

B. k > 0.

C. 1 < k < 9.

D. 0 < k ≠ 9.

Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}.$

B. $y = \frac{{{x^2} + 2x}}{{x + 1}}.$

C. $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}.$

D. $y = \frac{{2x}}{{x + 1}}.$

Tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = x + m – 1 cắt đồ thị hàm số y = $\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = $2\sqrt 3$ là

A. m = $2 \pm \sqrt {10} .$

B. m = $4 \pm \sqrt 3 .$

C. m = $2 \pm \sqrt 3 .$

D. m = $4 \pm \sqrt {10} .$

Cho hàm số y = $\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).

B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

C. Đường thẳng y = x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).

D. Hàm số có hai cực trị.

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Khi đó $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$có giá trị bằng

A. F(b) – F(a).

B. F(b) – F(a) + C; C là hằng số.

C. F(a) – F(b).

D. F(a) – F(b) + C; C là hằng số.

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\int {dx}$ = x + C.

B. $\int {{x^3}dx} = \frac{1}{4}{x^4}$ + C.

C. $\int {\frac{1}{x}} dx$ = lnx + C.

D. $\int {{e^x}} dx$ = e$^{x}$ + C.

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 4x$^{3}$ + 2x – 1 thỏa mãn F(1) = 10.

A. F(x) = x$^{4}$ + x$^{2}$ + 1.

B. F(x) = x$^{4}$ – x$^{2}$ + 10.

C. F(x) = x$^{4}$ + x$^{2}$ – x + 9.

D. F(x) = x$^{4}$ + x$^{2}$ – x + 10.

Cho $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = 5}$ và $\int\limits_0^4 {g\left( x \right)dx = 6}$. Giá trị của $\int\limits_0^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]dx}$ là

A. 17.

B. 16.

C. 11.

D. 22.

Tích phân $\pi \int\limits_1^3 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}dx}$dùng để tính một trong các đại lượng sau, đó là đại lượng nào?

A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng: y = (x – 1)$^{2}$, y = 0, x = 1, x = 3.

B. Thể tích hình tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x – 1, y = 0, x = 1, x = 3 quanh trục Ox.

C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (x – 1)$^{2}$, y = 0, x = 2, x = 3.

D. Thể tích hình tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x – 1; y = 0, x = 2, x = 3 quanh trục Ox.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2, y = 3x và các đường thẳng x = 1, x = 2 là

A. $\frac{1}{4}$.

B. $\frac{1}{6}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{1}{5}$.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông cân tại B, biết SA = AB = BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {BC}$ bằng

A. $\frac{{{a^2}}}{2}$.

B. a$^{2}$.

C. −a$^{2}$.

D. $- \frac{{{a^2}}}{2}$.

Cho hình hộp ABCD.A*'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác ADA'* và M là trung điểm của đoạn thẳng CC*'*. Hệ thức biểu diễn $\overrightarrow {GM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {AA'}$ là

A. $\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$.

B. $\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'}$.

C. $\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AA'}$.

D. $\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AA'}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 3}}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là

A. $\overrightarrow {{u_1}}$= (3; −1; −4).

B. $\overrightarrow {{u_2}}$ = (−4; −2; 6).

C. $\overrightarrow {{u_3}}$ = (2; 1; 3).

D. $\overrightarrow {{u_4}}$ = (3; 1; 4).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; −1; −3) và mặt phẳng (P): 2x – 2y – z = 0. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng

A. 3.

B. 6.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y + 6z + 9 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là

A. I(1; 2; −3), R = 5.

B. I(1; 2; −3), R = $\sqrt 5$.

C. I(2; 4; −6); R = 5.

D. I(2; 4; −6); R = $\sqrt 5$.

Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton chạy 42 km.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,5.

B. 1,5.

C. 2,0.

D. 2,5.

Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton chạy 42 km.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. 0,5.

B. 0,75.

C. 6,75.

D. 7,5.

Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton chạy 42 km.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) là

A. 0,51.

B. 0,61.

C. 0,71.

D. 0,81.

Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài. Xác suất để lá bài lấy ra có chất rô, nếu biết rằng lá bài đó mang số chẵn là

A. $\frac{1}{4}$.

B. $\frac{3}{8}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{5}{{13}}$.

Chọn ngẫu nhiên gia đình có 2 con. Biết rằng người con đầu là con gái. Xác suất để gia đình đó có hai con gái là

A. 0,6.

B. 0,5.

C. 0,55.

D. 0,65.

Giao hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Biết rằng số chấm trên hai con xúc xắc bé hơn 5. Xác suất để tổng số chấm bằng 6 là

A. $\frac{3}{{17}}$.

B. $\frac{4}{{17}}$.

C. $\frac{5}{{19}}$.

D. $\frac{3}{{16}}$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 2.

b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 5 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.

c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hệ số góc lớn nhất.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = $\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$. Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = $- \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$.

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = $\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}$.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}$.

Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và V = $\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}$, trong đó x là chiều cao của hình chóp.

b) Với giá trị nào của x để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?

Tìm học các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = 3x$^{2}$ – 2x + $\frac{2}{x}$;

b) g(x) = sinx –$\frac{3}{{{{\cos }^2}x}}$ + 1;

c) h(x) = (3x – 1)$^{2}$ − 2$\sqrt x$ + sinx – 1.

Tính:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}$;

b) $\int\limits_0^1 {\left( {3x - 4{x^3}} \right)dx - \int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - 3x} \right)dx} }$;

c) $\int\limits_0^6 {\left( {\left| {2x - 2} \right| + 4{x^2}} \right)dx}$.

Cho hàm số f(x) có f*'*(x) = 10x – e$^{x}$ với mọi

x ∈ ℝ. Biết f(0) = 1, tính giá trị f(2).

Một ô tô đang chạy với vận tốc 15 m/s thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 3t – 8 (m/s$^{2}$), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.

a) Biết vận tốc của ô tô là v(t) = $\frac{a}{2}$t$^{2}$ + bt + c, với a, b, c là các số nguyên.

Tính giá trị a + b + c.

b) Quãng đường ô tô đi được sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

∆: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}$ và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0.

a) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 9 và mặt phẳng

(P): 2x + 2y – z + 8 = 0.

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tính bán kính r của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

∆: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1 + t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.$ và ∆': $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + s\\y = - 2 + 3s\\z = - 5\end{array} \right.$.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆'.

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆'.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0) và B(3; 2; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

c) Viết phương trình mặt phẳng (OAB).

d) Tìm tọa độ của điểm M trên mặt mặt phẳng tọa độ (Oyz) sao cho MA$^{2}$ + MB$^{2}$ nhỏ nhất.

Một quả bóng được chuyền theo một đường parabol nằm trong một mặt phẳng (α) vuông góc với mặt sân cỏ, từ vị trí O đến vị trí A cách O một khoảng 20 m về hướng S30°E (hướng tạo với hướng nam góc 30° và tạo với hướng đông góc 60°). Các vị trí O, A đều thuộc sân cỏ. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tại điểm O, các trục Ox, Oy thuộc mặt sân cỏ (phẳng), tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, đơn vị đo theo mét. Viết phương trình mặt phẳng (α).

Một nhóm học sinh áp dụng hai thiết bị để đo công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

a) Tìm độ lệch chuẩn cho hai mẫu số liệu ghép nhóm về công suất của một chiếc quạt điện khi đo theo hai phương pháp trên.

b) Từ kết quả tính được hãy cho biết thiết bị nào cho kết quả ổn định hơn?

Nghiên cứu hiệu quả của hai loại thuốc hạ huyết áp A và B trên 4000 người ta thu được bảng thống kê 2 x 2 sau đây:

Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất để:

a) Người đo hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc A;

b) Người sso dùng thuốc A biết rằng người đó hạ huyết áp;

c) Người đó dùng thuốc B biết rằng người đó không hạ huyết áp;

d) Người đó không hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc B.

Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc khác nhau”;

B: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Tính P(A | B) và P(B | A).

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất $\frac{1}{2}$ là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.

a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.

b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.

Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là 20%. Bệnh X có liên quan tới triệu chứng S.

a) Theo bác sĩ M nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là 90% và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 15% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ M, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

b) Theo bác sĩ N nếu một người mắc bệnh X thì 95% khả năng người đó có triệu chứng S và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 10% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ N, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

c) Theo bác sĩ P nếu một người mắc bệnh X thì 99% khả năng người đó có triệu chứng S. Còn nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có 1% khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ P, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?