Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương V

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x – 1) + 1(y – 0) + 1(z + 3) = 0

⇔ 2x + y + z + 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Vectơ chỉ phương của phương trình đường thẳng trên là: $\overrightarrow {{u_4}}$ = (2; −2; 1).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương nên

$\overrightarrow u$ = (2; 3; −1).

Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (2; 1; 1), $\overrightarrow {{u_{^{\Delta '}}}}$ = (1; 2; −5).

Do đó, cos(∆, ∆') = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.2 + 1.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt 5 }}{{30}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (1; $\sqrt 2$; 1), $\overrightarrow {{n_{Oxz}}}$ = (0; 1; 0).

⇒ sin(∆, (Oxz)) = $\left| {\cos \left( {\Delta ,\left( {Oxz} \right)} \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{Oxz}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{Oxz}}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + \sqrt 2 .1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

⇒ (∆, (Oxz)) = 45°.

Đáp án đúng là: C

Ta có: R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}}$ = $\sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y + 1 = 0

⇔ (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 4.

Vậy mặt cầu có tâm I(1; −2; 0) và R = 2.

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: $\overrightarrow u$ = (1; 2; −1).

Đường thẳng ∆ đi qua B(1; −2; 3) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa ∆ và đi qua A là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]$ (với $\overrightarrow {AB}$ = (−1; −1; 2)).

Suy ra $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]$ = $\left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)$ = (3; −1; 1).

Vậy $\overrightarrow n$ = (3; −1; 1).

Đáp án đúng là: C

Ta có: d(A, (P)) = $\frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - 2.1 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }}$ = 3.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2; −1) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (−1; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(2; 1; −3) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}$ = (2; 1; −3) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 1}\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|} \right)$ = (−5; 1; −3) ≠ $\overrightarrow 0$.

$\overrightarrow {AB}$ = (1; −1; −2).

Và $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB}$ = −5.1 + 1.(−1) + (−3).(−2) = 0 nên hai đường thẳng ∆, ∆' cắt nhau.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (−3; −1; 1), $\overrightarrow {AC}$ = (1; −2; 3).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\overrightarrow n$ = $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ = $\left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\{ - 2}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 3}\\3&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&{ - 1}\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)$ = (−1; 10; 7).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

−1(x – 2) + 10(y – 3) + 7(z + 1) = 0

⇔ −x + 10y + 7z – 21 = 0

⇔ x – 10y – 7z + 21 = 0.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (−3; −1; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 3 - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}$ = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]$ = (5; −5; −5) và $\overrightarrow {AB}$ = (−3; 1; 4) nên $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB}$ = −40 ≠ 0.

Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Ta có: cos(∆, ∆') = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: $\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$.

a) Ta có: d(I, (P)) = $\frac{{\left| {3 - 2.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$ = 4.

b) Bán kính mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Do đó, R = 4.

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 16.

c) Đường thẳng d vuông với mặt phẳng (P) nên nhận vectơ $\overrightarrow n$ = (1; −2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$

a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).

I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

⇒ I(−2; −6; 5).

b) Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (1; 2; −2), $\overrightarrow {{n_P}}$ = (2; 1; 1).

⇒ $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)$ = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.

Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.$.

c) Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (1; 2; −2), $\overrightarrow {{n_P}}$ = (2; 1; 1).

Do đó, sin(∆, (P)) = $\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_\Delta },{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}$.

⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(3; −2; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (2; 1; 3) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−2; 3; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}$ = (3; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (−5; 5; 0) và $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&2\\{ - 2}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\3&2\end{array}} \right|} \right)$ = (−8; 13; 1) ≠ $\overrightarrow 0$

⇒ $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB}$ = −5.(−8) + 5.13 + 0.1 = 105 ≠ 0.

Do đó, hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow n$ = $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]$ = (−8; 13; 1) làm vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (P) đi qua điểm A.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: −8(x – 3) + 13(y + 2) +1(z – 1) = 0

⇔ −8x + 13y + z + 49 = 0

⇔ 8x – 13y – z – 49 = 0.

a) Ta có: (x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 9

⇔ (x – 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 3$^{2}$

Mặt cầu có tâm I(2; −1; 3) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = $\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}$ = 2 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P), có IH ≤ IA nên để IH lớn nhất thì H trùng với A hay $\overrightarrow {IA}$ = (0; 0; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: −2(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.

a) Phương trình có các hệ số: a = −3, b = 0, c = 4 và d = 5.

⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = (−3)$^{2}$ + 0$^{2}$ +4$^{2}$ – 5 = 20 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính

R = $\sqrt {20}$.

b) Phương trình có các hệ số a = 2, b = 0, c = −3 và d =17.

⇒ a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = 2$^{2}$ + 0$^{2}$ + (−3)$^{2}$ – 17 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + 2z$^{2}$ – 5 = 0.

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – $\frac{5}{2}$ = 0.

⇔ x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = $\frac{5}{2}$.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

a) Ta có: $\overrightarrow {{n_P}}$ = (2; 2; −1), $\overrightarrow {{n_Q}}$ = (2; 2; −1).

Có $\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{8}{{ - 2}}$ nên mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

b) Lấy điểm A(0; 0; 8) thuộc mặt phẳng (P).

Khi đó, d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = $\frac{{\left| {0.2 + 0.2 - 8 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}$ = 2.

Ta có: A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên trục Ox, Oy, Oz nên tọa độ các điểm lần lượt là: A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 5).

Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết dưới dạng phương trình đoạn chắn như sau:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}}$ = (1; −3; −1), $\overrightarrow {AB}$ = (1; 1; 2).

$\overrightarrow {{n_Q}}$ = $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right]$ = $\left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 3}&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 3}\\1&1\end{array}} \right|} \right)$ = (−5; −3; 4) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; −1; −3) nên ta có phương trình như sau:

−5(x – 2) – 3(y + 1) + 4(z + 3) = 0

⇔ −5x + 10 – 3y – 3 + 4z + 12 = 0

⇔ 5x + 3y – 4z – 19 = 0.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k$ = (0; 0; 1).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Ta có: cos((Oxy), (α)) = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + 0.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

⇒ ((Oxy), (α)) ≈ 54,7°.

Ta có: ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t} \right)^2} + {\left( {\sqrt {\sqrt 2 \sin t\cos t} } \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t - \cos t} \right)^2} - 1$

= $\frac{1}{2}{\sin ^2}t + \sqrt 2 \sin t\cos t + \frac{1}{2}{\sin ^2}t - \sqrt 2 \sin t\cos t + {\cos ^2}t - 1$

= sin$^{2}$t + cos$^{2}$t – 1

= 1 – 1 = 0.

Vậy ${\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t} \right)^2} + {\left( {\sqrt {\sqrt 2 \sin t\cos t} } \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t - \cos t} \right)^2} - 1$ = 0.

Vậy trong quá trình chuyển động, vật thể luôn thuộc mặt cầu (S).

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (0; 1; −1), mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow k$ = (0; 0; 1).

Ta có: sin(AB, (Oxy)) = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right|$ = $\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

⇒ (AB, (Oxy)) = 45°.

Vậy ống nước nghiêng 45° so với mặt phẳng nằm ngang.