Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương IV

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {{x^2}} dx$ = $\frac{1}{3}$x$^{3}$ + C.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx}$ = $\int {{x^2}dx} + \int {3{x^3}dx}$ = $\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^4}}}{4} + C$.

Vậy a = 1, b = 3.

Khi đó a + b = 4.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}$ = $\int\limits_0^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^5 {f(x)dx}$ = 3 + 7 = 10.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int\limits_0^4 {2f\left( x \right)dx}$ = $2\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}$ = 2.4 = 8.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx = 4}$ = $\left. {f(x)} \right|_0^2$⇔ f(2) – f(0) = 4 ⇔ f(2) = 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có: m = $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$.

Với f(x) = x$^{2}$ + 2x trên đoạn [0; 3], ta được

m = $\frac{1}{{3 - 0}}\int\limits_0^3 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$ = $\left. {\frac{1}{3}\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^3$ = 6.

Vậy m = 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có công thức: S = $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ (do f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]).

Đáp án đúng là: D

Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là $\int\limits_0^{10} {r\left( t \right)dt}$.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức tính diện tích S là $S = \int\limits_a^m {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {g(x)} \right|} dx$.

Đáp án đúng là: D

Ta có N(t) = $\int {N'\left( t \right)dt = \int {\frac{{8000dt}}{t} = 8000\int {\frac{{dt}}{t}} } }$ = 8 000ln$\left| t \right|$ + C.

Ngày thứ nhất, số lượng vi khuẩn là 250 000 con, nên N(1) = 250 000 con,

tức là C = 250 000.

Số lượng vi khuẩn sau 6 ngày là:

N(6) = 8 000.ln$\left| 6 \right|$ + 250 000 ≈ 264 334 (con).

a) $y = {\sin ^2}\frac{x}{2}$ = $\frac{{1 - \cos x}}{2}$.

Ta có: $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C} }$.

b) Ta có: $\int {\left( {{e^{2x}} - 2{x^5} + 5} \right)dx}$ = $\int {{e^{2x}}dx - \int {2{x^5}dx + \int {5dx} } }$

= $\frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{3}{x^6} + 5x + C$.

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)dx = {x^2} - \ln \left| x \right| + C} }$.

Mà F(1) = 3 ⇒ 1$^{2}$ – ln1 + C = 3 ⇔ C = 2.

Vậy F(x) = x$^{2}$ – ln$\left| x \right|$ + 2.

a) $\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx}$ = $\int\limits_0^3 {\left( { - x + 3} \right)dx}$ = $\left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 3x} \right)} \right|_0^3$ = $\frac{{{3^2}}}{2} + 3.3 - \frac{{{0^2}}}{2} - 3.0$ = $\frac{9}{2}$.

b) $\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx}$ = $\left. {\left( {{e^x} - {x^4}} \right)} \right|_0^2$ = e$^{2}$ – 2$^{4}$ – e$^{0}$ + 0$^{4}$ = e$^{2}$ – 17.

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx}$ = $\left. {\left( { - \cos x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ = 2.

Diện tích hình phẳng hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x$^{2}$ + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là:

S = $\int\limits_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|dx = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = } \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2}$ = 10.

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = 10.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt {{x^2} + 1}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:

V = $\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}dx}$ = $\left. {\pi \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^1$ = $\frac{4}{3}\pi$.

Vậy thể tích khối tròn xoay là V = $\frac{4}{3}\pi$.

Ta có: $\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx}$ = $\left. {\left( {5{x^2} - 2mx} \right)} \right|_0^3$ = 5.3$^{2}$ – 6m = 45 – 6m.

Mà theo đề bài, $\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} > 0$ ⇔ 45 – 6m > 0 ⇔ m < $\frac{{45}}{6}$= 7,5.

Lại có m nhận giá trị nguyên dương, nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Có 7 giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ giả thiết, ta có:

F(m) = $\int {F'\left( m \right)dm = \int {\frac{{150}}{{2m + 1}}dm = 75\ln \left| {2m + 1} \right| + C} }$.

F(0) = C = 50.

Vậy F(m) = $75\ln \left| {2m + 1} \right|$ + 50.

Số người mắc bệnh ngày thứ 10 là F(10) = $75\ln \left| {2.10 + 1} \right| + 50$ ≈ 278.

Quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại là:

S(t) = $\int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{1}{2}{t^2} - 0{,}1{t^3}} \right)dt} } = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{6} - \frac{{0{,}1{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^5 = \frac{{{5^3}}}{6} - \frac{{0,{{1.5}^4}}}{4}$ ≈ 5,21 (m).