Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương II

Đáp án đúng là: D

Các vectơ thỏa mãn là: $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {BC}$, $\overrightarrow {BA}$, $\overrightarrow {CA}$, $\overrightarrow {CB}$.

Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: D

Các vectơ đối của $\overrightarrow a$ đều bằng nhau và bằng $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Đáp án đúng là: C

Có tứ giác ACC'A' là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC'}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B'D'}$ = $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}$

= $\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$

= $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}$

= 2.2.cos180° − 2.2.cos90° = −4.

Đáp án đúng là: B

Gọi G(x; y; z) là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 0 + 5}}{3} = 2\\y = \frac{{3 + 6 + 3}}{3} = 4\\z = \frac{{5 + ( - 2) + 6}}{3} = 3\end{array} \right.$

Vậy G(2; 4; 3).

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: OB = $\frac{1}{3}$OA, mà B là điểm nằm giữa O và A.

⇒ $\overrightarrow {OB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}$ = $\frac{1}{3}\left( {3;0; - 6} \right)$ = (1; 0; −2).

Do đó, tọa độ điểm B là: B(1; 0; −2).

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ = (3; 3; 9).

Do đó, $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\overrightarrow a$ = 3.1 + 3.2 + 4.9 = 45.

Chọn D.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy M(2; 1; 0) nên điểm M không nằm trên trục Oz.

Vậy C sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có AB = 7 ⇒ AB$^{2}$ = 7$^{2}$

⇒ (−1 – 2)$^{2}$ + (9 – m)$^{2}$ + (m – 5)$^{2}$ = 49

⇔ m$^{2}$ – 14m + 33 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = 11.

Chọn C.

Ta có: $\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$ = $\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} } \right)$ + $\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$ + $\overrightarrow {DB}$

= $\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB}$

= $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB}$

= $\overrightarrow {AB}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$.

Ta có: ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$ = 2$^{2}$ + 3$^{2}$ + 2.2.3.cos60° = 19.

Do đó, $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$ = $\sqrt {19}$.

Ta có: ${\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$ = 2$^{2}$ + 3$^{2}$ – 2.2.3.cos60° = 7.

Do đó, $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$ = $\sqrt 7$.

a) Ta có: $2\overrightarrow a$ = (−8; 12; 14), $3\overrightarrow b$ = (3; 0; −9).

Do đó, $\overrightarrow m = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c$ = (−3; 19; 25).

b) Ta có: $3\overrightarrow b$ = (3; 0; −9), $2\overrightarrow c$ = (16; 14; 4).

Do đó, $\overrightarrow n = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b + 2\overrightarrow c$ = (15; 20; 2).

a) Từ giả thiết, ta có B(3; 0; 0), C(0; 4; 0), D(0; 0; 6).

b) E là trọng tâm tam giác ABD với A(0; 0; 0), B(3; 0; 0), D(0; 0; 6).

Do đó, tọa độ điểm E là E(1; 0; 2).

F là trọng tâm tam giác ACD với A(0; 0; 0), C(0; 4; 0), D(0; 0; 6).

Do đó, tọa độ điểm F là F$\left( {0;\frac{4}{3};2} \right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow {AD}$= (0; 0; 6) và $\overrightarrow {EF}$ = $\left( { - 1;\frac{4}{3};0} \right)$.

Có $\overrightarrow {AD}$.$\overrightarrow {EF}$ = 0.(−1) + 0.$\frac{4}{3}$ + 6.0 = 0

Vậy AD vuông góc với EF.

a) Ta có: cos$\widehat {AOB}$ = cos$\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$

= $\frac{{3.m + ( - 1).4 + m.m}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2} + {m^2}} .\sqrt {{m^2} + {4^2} + {m^2}} }}$

= $\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} .\sqrt {2{m^2} + 16} }}$

b) Để $\widehat {AOB}$ là góc nhọn thì cos$\widehat {AOB}$ > 0 hay $\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} .\sqrt {2{m^2} + 16} }}$ > 0.

Suy ra m$^{2}$ + 3m – 4 > 0.

Do đó, m < −4 hoặc m > 1.

Vì hình hộp thứ hai nằm ngay phía trên hình hộp thứ nhất và cách hình hộp thứ nhất 5 đơn vị nên $\overrightarrow {OO'} ,\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'}$ cùng với với $\overrightarrow k$và có độ dài là 5.

Suy ra $\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = 5\overrightarrow k = \left( {0;0;5} \right)$.

Vì tọa độ của O là (0; 0; 0) nên O*'*(0; 0; 5).

Vì tọa độ của A là (2; 0; 0) nên A*'*(2; 0; 5).

Vì tọa độ của B là (0; 3; 0) nên B*'*(0; 3; 5).

a) Có thể lập hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ sau.

Khi đó đầu gậy nằm trên sàn nhà có tọa độ (1; 0,8; 0).

b) Gọi khoảng cách từ đầu dây trên mép tường đến sàn nhà là a (m) (a > 0).

Khi đó, chiều dài của chiếc gậy bằng $\sqrt {{{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0{,}8 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - a} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 1{,}64}$.

Suy ra, $\sqrt {{a^2} + 1{,}64} = 2{,}5$.

Do đó, a ≈ 2,15.

Vậy đầu gậy trên mép tường cách sàn nhà khoảng 2,15 m.