Giải SBT Toán 12 Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

a) Ta có: $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ = (3 – 2;0 – 7;4 – 7) = (1; −7; −3).

Do đó, $\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$ = (1 + 2; −7 + 7; −3 + 2) = (3; 0; −1).

Vậy $\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c$ = (3; 0; −1).

Ta có: 2$\overrightarrow a$ = (6; 0; 8), $3\overrightarrow b$ = (6; 21; 21), $4\overrightarrow c$ = (8; 28; 8).

Do đó, $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c$ = (4; −7; 21).

b) Ta có: −$\overrightarrow a$ = (−3; 0; −4).

Do đó, $\left( { - \overrightarrow a } \right).\overrightarrow b$ = −3.2 + 0.7 + $\left( { - 4} \right)$.7 = −34.

Ta có: 3$\overrightarrow a$ = (9; 0; 12).

Do đó, $\left( {3\overrightarrow a } \right)$.$\overrightarrow c$ = 9.2 + 0.7 + 12.2 = 42.

c) Ta có: cos$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ = $\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ = $\frac{{3.2 + 0.7 + 4.7}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {7^2} + {7^2}} }}$ = $\frac{{\sqrt {102} }}{{15}}$.

Ta có: cos$\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right)$ = $\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}}$ = $\frac{{3.2 + 0.7 + 4.2}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {7^2} + {2^2}} }}$ = $\frac{{14}}{{5\sqrt {57} }}$.

a) Ta có: $2\overrightarrow b$ = (2; 4; 6)

Suy ra $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ = (m – 2; 3 – 4; 6 – 6) = (m – 2; −1; 0).

Mà $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ = (3; −1; 0) = (m – 2; −1; 0).

Do đó, m – 2 = 3 hay m = 5.

b) Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ = m.1 + 3.2 + 6.3 = m + 24 = 10

Suy ra m = −14.

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow a } \right|$ = $\sqrt {{m^2} + {3^2} + {6^2}} = 9$

⇒ $\sqrt {{m^2} + 45} = 9$

⇒ m$^{2}$ + 45 = 81

⇒ m$^{2}$ = 36

⇒ m = ±6.

a) Gọi I(x; y; z)

Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 2 + 6}}{3}\\y = \frac{{3 + 0 + 9}}{3}\\z = \frac{{ - 3 + 5 + ( - 5)}}{3}\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\\z = - 1\end{array} \right.$.

Vậy I(3; 4; −1).

b) Gọi G(x0; y0; z0), theo đề ta có: DG = 3IG nên DG = $\frac{3}{4}$DI suy ra $\overrightarrow {DG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {DI}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = \frac{3}{4}.4\\{y_0} + 4 = \frac{3}{4}.8\\{z_0} - 3 = \frac{3}{4}.( - 4)\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = 2\\{z_0} = 0\end{array} \right.$.

Vậy G(2; 2; 0).

Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} - 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0$

$\frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow {OG}$

Do đó, $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$.

Vậy từ đây, với biểu thức tọa độ của phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ ta được:

x$_{G}$ = $\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}$;

y$_{G}$ = $\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}$;

z$_{G}$= $\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}$.

Ta có: AB = $\sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 - 5} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}}$ = $\sqrt {10}$;

AC = $\sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 6} \right)}^2}}$ = $\sqrt {21}$;

BC = $\sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 6} \right)}^2}}$ = $\sqrt {29}$.

cos$\widehat {BAC}$ = cos$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right)$ = $\frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$ = $\frac{{ - 3.( - 1) + 1.( - 2) + 0.4}}{{\sqrt {10} .\sqrt {21} }}$ = $\frac{1}{{\sqrt {210} }}$.

Suy ra $\widehat {BAC}$ ≈ 86°.

cos$\widehat {ABC}$ = cos $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ = $\frac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$ = $\frac{{3.2 + ( - 1).( - 3) + 0.4}}{{\sqrt {10} .\sqrt {29} }}$ = $\frac{9}{{\sqrt {290} }}$.

Suy ra $\widehat {ABC}$ ≈ 58°.

Từ đây, $\widehat {ACB}$ = 180° − 86° − 58° = 36°.

a) Ta có: C*'(0; 0; 0), D'(0; 1; 0), B'*(1; 0; 0); C(0; 0; 1); D(0; 1; 1).

Ta có: $\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'}$ = (0; 0; −1).

Gọi B(x; y; z), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}1 - x = 0\\0 - y = 0\\0 - z = - 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.$.

Vậy B(1; 0; 1).

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ ⇒ A(1; 1; 1).

$\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'}$⇒ A*'* (1; 1; 0).

b) Gọi G(x$_{G}$; y$_{G}$; z$_{G}$), ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 0 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 0 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Vậy G$\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow {OG} = \left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$, $\overrightarrow {OA} = (1;1;1).$

Có $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}$ nên ba điểm O, G, A thẳng hàng.

a) Ta thấy đầu chiếc cột có độ cao 3 m có tọa độ là (8; 5; 3), đầu chiếc cột có độ cao 2 m có tọa độ là (3; 2; 2).

b) Khoảng cách giữa hai đầu sợi dây của chiếc cột là:

$\sqrt {{{\left( {8 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}$ ≈ 5,92 (m).

Vậy sợi dây cần có độ dài tối thiểu 5,92 m.

a) Chọn hệ trục Oxyz như hình bên.

Khi đó tọa độ của hai đầu dây A, B là A(3; 0; 1,2) và B(0; 1; 2).

b) Độ dài của sợi dây là:

AB = $\sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + \left( {1 - 0} \right){}^2 + {{\left( {2 - 1{,}2} \right)}^2}}$ ≈ 3,26 (m).