Giải SBT Toán 12 Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) y = x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 9x

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$

Ta có: y*'* = 3x$^{2}$ – 12x + 9

y*'* = 0 ⇔ 3x$^{2}$ – 12x + 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với y$_{CĐ}$ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với y$_{CT}$ = 0.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (0; 0) và (3; 0).

Đồ thị nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng.

Ta có đồ thị hàm số như sau:

b) y = x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 6x + 4

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$

Ta có: y*'* = 3x$^{2}$ + 6x + 6 = 3(x$^{2}$ + 2x + 1) + 3 = 3(x + 1)$^{2}$ + 3 > 0 với mọi x.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên ℝ.

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 4).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (−1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; 0).

Đồ thị hàm số như sau:

a) $y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3$

Do đó, đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y*'* = $\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$ > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $\left( { - \frac{5}{3};0} \right)$.

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (−2; 3).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2$

Do đó, đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y*'* = $\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 1).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $\left( {\frac{1}{2};0} \right)$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 2).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

a) $y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + $\frac{4}{{x - 2}}$.

Giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = - \infty$.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--2 + \frac{4}{{x - 2}} - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0.$

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y*'* =$\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

y*'* = 0 ⇔ $\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y$_{CĐ}$ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y$_{CT}$ = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) $y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − $\frac{6}{{x + 1}}$.

Giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$.

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = + \infty$.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}} - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 6}}{{x + 1}} = 0.$

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y*'* =$\frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ = $\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ > 0, với mọi x ≠ −1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).

Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm $\left( { - \frac{5}{2};0} \right)$ và (1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).

Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

Từ đồ thị hàm số f*'*(x), ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (2; +∞) và hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 2.

a) Ta có: a(t) = v'(t).

Do đó, từ đồ thị hàm số a(t), t ∈ [1; 5], ta có bảng biến thiên hàm vận tốc v(t) như sau:

b) Từ bảng biến thiên, ta thấy vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại giây thứ ba (t = 3).

Theo đề, ta có: x (cm) là chiều rộng tờ giấy.

Gọi y (cm) là chiều dài tờ giấy.

Theo giả thiết, ta có: chiều rộng vùng in là: x – 2.2 = x – 4 (cm).

Chiều dài cùng in là: y – 3.2 = y – 6 (cm).

Diện tích vùng in là: (x – 4)(y – 6) = 300.

Suy ra y = $6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = \frac{{6x + 276}}{{x - 4}}$.

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là:

S(x) = xy = $\frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}$.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(x):

1. Tập xác định: D = (4; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S(x) = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = + \infty$

Ta có: S(x) = 6x + 300 + $\frac{{1200}}{{x - 4}}$.

S*'*(x) = $\frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}$ .

S*'*(x) = 0 ⇔ x$_{0}$ = x = 4 + 10$\sqrt 2$.

Ta có bảng biến thiên như sau:

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là khi chiều rộng x = 4 + 10$\sqrt 2$.

Khi đó chiều dài y = 6 + $\frac{{300}}{{x - 4}}$ = 6 + $\frac{{300}}{{4 + 10\sqrt 2 - 4}}$ = 6 + $15\sqrt 2$.

Vậy kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là chiều rộng bằng 4 + 10$\sqrt 2$ cm, chiều dài bằng 6 + $15\sqrt 2$ cm.

a) Ta có: $f\left( x \right) = \frac{{C(x)}}{x}$ = 0,2x + 10 + $\frac{5}{x}$ với x ≥ 1.

f*'*(x) = 0,2 – $\frac{5}{{{x^2}}}$

f*'*(x) = 0 ⇔ 0,2 – $\frac{5}{{{x^2}}}$ = 0 ⇔ x = 5 (do x ≥ 1).

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty$.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Hàm số đạt cực đại tại x = 5 với f$_{CT}$ = 12.

a) Ta có: B(t; 0).

Suy ra $\overrightarrow {AB}$ = (t – 3; −2).

Phương trình đường thẳng AB là: $\frac{{x - 3}}{{t - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}}$ hay y = 2 − $\frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)$.

Suy ra điểm C có tung độ y$_{C}$ = 2 + $\frac{6}{{t - 3}}$.

Vậy C$\left( {0;2 + \frac{6}{{t - 3}}} \right)$.

Ta có: OB = $\sqrt {{{\left( {t - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}}$ = t

OC = $\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + \frac{6}{{t - 3}} - 0} \right)}^2}} = \frac{{2t}}{{t - 3}}$.

Diện tích tam giác OBC là S(t) = $\frac{1}{2}$.OB.OC = $\frac{1}{2}$.t.$\frac{{2t}}{{t - 3}}$ = $\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}$.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t) = $\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}$.

1. Tập xác định: D = (3; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} S(t) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } S(t) = + \infty$.

Ta có: S(t) = t + 3 +$\frac{9}{{t - 3}}$.

S*'*(t) = 1 − $\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}$

S*'*(t) = 0 ⇔ 1 − $\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}$ = 0 ⇔ t = 6 (do t > 3).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại t = 6 và y$_{CT}$ = 12.

c) Dựa vào bảng biến thiên ở phần b, ta thấy để diện tích tam giác OBC có diện tích nhỏ nhất thì B(6; 0).

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = N(t).

1. Tập xác định: [0; +∞).

2. Sự biến thiên

Ta có: N(t) = $\frac{{20\left( {4 + 3t} \right)}}{{1 + 0{,}05t}}$

N*'*(t) = $\frac{{56}}{{{{\left( {1 + 0{,}05t} \right)}^2}}} > 0$ với mọi t ≥ 0.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t)$ = 1200.

Bảng biến thiên:

b) Số lượng tối đa có thể có của quần thể cá là 1 200 000 con.

a) Chu vi thiết diện ngang là: 4x (cm).

Chiều dài của khối bưu kiện là: 240 – 4x (cm).

Do đó, thể tích của khối bưu kiện là: V(x) = (240 – x)x$^{2}$ (cm$^{3}$).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = V(x).

1. Tập xác định là: (0; 60).

2. Sự biến thiên:

Ta có: V*'*(x) = 480x – 12x$^{2}$

V*'*(x) = 0 ⇔ x = 40 (do x > 0).

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 40), nghịch biến trên khoảng (40; 60).

Hàm số đạt cực đại tại x = 40 với V$_{CĐ}$ = 128 000 (cm$^{3}$).

Ta có bảng biến thiên như sau: