Giải SBT Toán 12 Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Gọi A là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Toán”.

⇒ $\overline A$ là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Ngữ văn”.

B là biến cố: “Em đó được giải”.

Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 10 + 8 = 18.

P(A) = $\frac{{10}}{{18}}$, P(B | A) = 0,8.

P($\overline A$) = $\frac{8}{{18}}$, P(B | $\overline A$) = 0,7.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline A$).P(B | $\overline A$)

= $\frac{{10}}{{18}}$.0,8 + $\frac{8}{{18}}$.0,7

= $\frac{{34}}{{45}}$ ≈ 0,7556.

Gọi A là biến cố: “Tottenham gặp đội xếp trên”;

B là biến cố: “Tottenham thắng”;

C là biến cố: “Tottenham thua”;

D là biến cố: “Tottenham hòa”.

Ta có: P(A) = $\frac{7}{{19}}$; P($\overline A$) = 1 – $\frac{7}{{19}}$ = $\frac{{12}}{{19}}$.

P(D | A) = 1 – P(B | A) – P(C | A) = 1 – 0,2 – 0,5 = 0,3.

P(D | $\overline A$) = 1 – P(B | $\overline A$) – P(C | $\overline A$) = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(D) = P(A). P(D | A) + P($\overline A$).P(D | $\overline A$)

= $\frac{7}{{19}}$.0,3 + $\frac{{12}}{{19}}$.0,2 = $\frac{9}{{38}}$ ≈ 0,2368.

Gọi A là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I”

B là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi II”.

Ta có: P(A) = $\frac{3}{5}$, P($\overline A$) = $\frac{2}{5}$.

Nếu A xảy ra tức là lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 6 chiếc sô cô la đen, 3 chiếc kẹo sô cô la trắng.

Nếu A không xảy ra tức là chọn được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 4 chiếc sô cô la đen, 5 chiếc sô cô la trắng.

Vậy P(B | A) = $\frac{3}{9}$, P(B | $\overline A$) = $\frac{5}{9}$.

Theo công thức tính xác suất toàn phần, ta được:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline A$).P(B | $\overline A$)

= $\frac{3}{5}.\frac{3}{9} + \frac{2}{5}.\frac{5}{9} = \frac{{19}}{{45}}$.

Gọi A là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng I”;

B là biến cố: “Sản phẩm là phế phẩm”.

Khi đó, $\overline A$ là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng II”

$\overline B$ là biến cố: “Sản phẩm không là phế phẩm”.

Ta có: P(A) = 0,4; P(B | A) = 0,05.

P($\overline A$) = 0,6; P(B | $\overline A$) = 0,02.

Theo công thức Bayes, ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}$

= $\frac{{0{,}4.0{,}05}}{{0{,}4.0{,}05 + 0{,}6.0{,}02}} = \frac{5}{8}$.

Vậy xác suất để chọn được phế phẩm từ phân xưởng I là $\frac{5}{8}$.

Gọi A là biến cố: “Cuốn sách thuộc ngăn trên”.

B là biến cố: “Cuốn sách là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài”.

Do đó, P(A | B) là xác suất lấy được cuốn sách thuộc ngăn trên là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài.

Ta có: P(A) = $\frac{1}{3}$, P(B | A) = $\frac{2}{5}$,

P($\overline A$) = $\frac{2}{3}$, P(B | $\overline A$) = $\frac{1}{5}$.

Từ đó theo công thức Bayes ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}$ = $\left( {\frac{1}{3}.\frac{2}{5}} \right):\left( {\frac{1}{3}.\frac{2}{5} + \frac{2}{3}.\frac{1}{5}} \right)$ = $\frac{1}{2}$.

a) Gọi A là biến cố: “Chọn được chuồng II”.

B là biến cố: “Bắt được con thỏ trắng”.

Do đó, P(A | B) là xác suất bắt được con thỏ trắng là con thỏ ở chuồng II.

$\overline A$ là biến cố: “Chọn được chuồng I”.

$\overline B$ là biến cố: “Bắt được con thỏ nâu”.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline A$) = $\frac{1}{6}$; P(B | A) = $\frac{{14}}{{25}}$; P(B | $\overline A$) = $\frac{{12}}{{25}}$.

Theo công thức Bayes, ta có:

P(A | B) = $\frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}$ = $\frac{{35}}{{41}}$.

b) Ta cần tính P($\overline A$ | $\overline B$) là xác suất chọn được thỏ nâu ở chuồng I.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline A$) = $\frac{1}{6}$; P($\overline B$ | $\overline A$) = $\frac{{13}}{{25}}$, P($\overline B$ | A) = $\frac{{11}}{{25}}$.

Theo công thức Bayes, ta có:

P($\overline A$ | $\overline B$) = $\frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B |\overline A } \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}$ = $\frac{{13}}{{68}}$.