Giải SBT Toán 12 Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (1; −1; 2) và $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}$ = (2; 1; 1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và ∆'.

Do đó, cos$\left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 1.( - 1) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}$ = $\frac{1}{2}$.

⇒ $\left( {\Delta ,\Delta '} \right)$ = 60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 60°.

Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (−2; 1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

$\overrightarrow {{n_P}}$ = (1; 2; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó: sin$\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)$ = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right|$ = $\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} \overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 2.1 + 1.2 + 2.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$ = $\frac{4}{9}$

⇒$\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)$ ≈ 26,4°.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}}$= (2; −1; 2), $\overrightarrow {{n_Q}}$ = (1; 1; −1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Do đó: cos$\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)$ = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + \left( { - {1^2}} \right)} }}$= $\frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

⇒ $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)$ ≈ 78,9°.

a) Ta có: $\overrightarrow {{u_\Delta }}$ = (0; $\sqrt 3$; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

$\overrightarrow k$ = (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Do đó, $\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right)$ = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow k } \right)} \right|$ = $\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + \sqrt 3 .0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }}$ = $\frac{1}{2}$.

⇒ $\left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right)$ = 30°.

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng ∆ đi qua A nhận $\overrightarrow v$ = (1; 4; 1) làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng ∆ là: $\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{z}{1}$.

Một vectơ chỉ phương của trục Oy là $\overrightarrow j$ = (0; 1; 0).

Ta có: cos(∆, Oy) = $\frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}}$ = $\frac{{\left| {1.0 + 4.1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

⇒ (∆, Oy) ≈ 19,5°.

Đường thẳng ∆$_{1}$ qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ = (1; 2; 1).

Đường thẳng ∆$_{2}$ qua điểm B(−1; 2; −1) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}$ = (3; 1; 4).

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (−3; 3; −1), $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$ = (7; −1; −5).

⇒ $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}$ = −19 ≠ 0.

Suy ra ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ chéo nhau.

Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Ta có: cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 2.1 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} }}$ = $\frac{9}{{\sqrt {156} }}$.

⇒ (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) ≈ 43,9°.