Giải SBT Toán 12 Bài 12. Tích phân

a) Ta có tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang OABC, có đáy lớn AB = 7, đáy nhỏ CO = 1, đường cao OA = 3.

Do đó, $\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx}$ = S$_{OABC}$ = $\frac{1}{2}\left( {AB + CO} \right)OA = \frac{1}{2}$.(7 + 1).3 = 12.

b) Tích phân cần tích chính là diện tích của $\frac{1}{4}$ hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O và bán kính R = 4 (phần nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ) như hình dưới đây.

Do đó, $\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx}$= $\frac{1}{4}.\pi {.4^2}$ = 4π.

a) $\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx$ = $2\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx}$

= 2.6 + 3.2 = 18.

b) $\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]} dx$ = $2\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} - 3\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx}$

= 2.6 – 3.2 = 6.

a) $\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} dx$ = $\int\limits_0^1 {\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} dx$

= $\left. {\left( {x - 2{x^2} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^1$

= $\frac{1}{3}$.

b) $\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx}$ = $\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)dx}$

= $\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - 2.{x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)dx}$

= $\left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x - 4\sqrt x } \right)} \right|_1^4$

= $\frac{2}{3}$.

a) $\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}$ = $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}$

= $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)dx}$

= $\left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2$ = $\frac{5}{2}$.

b) $\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$ = $\int\limits_{ - 2}^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$

= $\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^3 {\left( {x - 1} \right)dx}$

= $\left. {\left( {x - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^1 + \left. {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_1^3$

= 1$^{2}$ − $\frac{1}{2}$.1$^{2}$ – (−2) + $\frac{1}{2}$.(−2)$^{2}$ + $\frac{1}{2}$.3$^{2}$ – 3 − $\frac{1}{2}$.1$^{2}$ + 1.

= $\frac{{13}}{2}$.

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx}$ = $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin xdx}$

= $\left. {3\sin x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} - \left. {2\cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}$

= $3\sin \frac{\pi }{2} - 3\sin 0 - 2\cos \frac{\pi }{2} + 2\cos 0$

= 5.

b) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$ = $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$

= $\left. {\tan x} \right|_{_{\frac{\pi }{6}}}^{^{\frac{\pi }{4}}} - \left. {\cot x} \right|_{_{\frac{\pi }{6}}}^{^{\frac{\pi }{4}}}$

= $\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6} - \cot \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{6}$

= 2 − $\frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

a) $\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} - 2{e^x}} \right)dx}$ = $\int\limits_0^1 {{3^x}dx} - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}$

= $\left. {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1$

= $\frac{2}{{\ln 3}} - 2e + 2$.

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}} dx$ = $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 2{e^x} + 1}}{{2{e^x}}}dx}$

= $\frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 2 + {e^{ - x}}} \right)dx}$

= $\left. {\frac{1}{2}\left( {{e^x} - 2x - {e^{ - x}}} \right)} \right|_0^1$

= $\frac{{e - 2 - {e^{ - 1}}}}{2}$.

a) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị là:

$\int\limits_{100}^{101} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{101} {\left( { - 0{,}0005x + 12{,}2} \right)dx}$ = $\left. {\left( { - 0{,}0005.\frac{{{x^2}}}{2} + 12{,}2x} \right)} \right|_{100}^{101}$ = 12,14975.

b) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị là:

$\int\limits_{100}^{110} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{110} {\left( { - 0{,}0005x + 12{,}2} \right)dx}$ = $\left. {\left( { - 0{,}0005.\frac{{{x^2}}}{2} + 12{,}2x} \right)} \right|_{100}^{110}$ = 121,475.

Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm là:

$\frac{1}{{24}}\int\limits_0^{24} {c\left( t \right)dt}$ = $\frac{1}{{24}}\int\limits_0^{24} {\left( {0{,}005{t^2} + 0{,}02t + 12{,}5} \right)dt}$ = $\left. {\frac{1}{{24}}\left( {0{,}005\frac{{{t^3}}}{3} + 0{,}01{t^2} + 12{,}5t} \right)} \right|_0^{24}$= 13,7.

a) Tổng chi phí sau một năm là:

C = 5 000$\left( {25 + 3\int\limits_0^1 {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \left. {\frac{{12}}{5}{t^{\frac{5}{4}}}} \right|_0^1} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \frac{{12}}{5} - 0} \right)$ = 137 000.

b) Tổng chi phí sau 5 năm là:

C = 5 000$\left( {25 + 3\int\limits_0^5 {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \left. {\frac{{12}}{5}{t^{\frac{5}{4}}}} \right|_0^5} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \frac{{12}}{5}{5^{\frac{5}{4}}} - 0} \right)$ ≈ 214 720,93.

c) Tổng chi phí sau 10 năm là:

C = 5 000$\left( {25 + 3\int\limits_0^{10} {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \left. {\frac{{12}}{5}{t^{\frac{5}{4}}}} \right|_0^{10}} \right)$ = 5 000$\left( {25 + \frac{{12}}{5}{{10}^{\frac{5}{4}}} - 0} \right)$ ≈ 338 393,53.

a) Quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên là:

$S = \int\limits_0^T {v\left( t \right)dt = } \int\limits_0^T {9{,}8tdt}$ (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là:

$S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt = } \int\limits_0^5 {9{,}8tdt} = \left. {4{,}9{t^2}} \right|_0^5 = 122{,}5$ (m).