Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương IX có đáp án

Đáp án đúng là: B

Có ${f}^{'}(x)={[co{s}^{2}(2x+\frac{π}{12})]}^{'}$$=2cos(2x+\frac{π}{12})\cdot {[cos(2x+\frac{π}{12})]}^{'}$

$=-4cos(2x+\frac{π}{12})\sin (2x+\frac{π}{12})$$=-2\sin (4x+\frac{π}{6})$

${f}^{'}(0)=-2\sin (4\cdot 0+\frac{π}{6})=-1$

Đáp án đúng là: C

Có ${f}^{'}(x)={(-\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+3x-1)}^{'}$= −x$^{2}$ + 2x + 3.

Để f*'*(x) > 0 thì −x$^{2}$ + 2x + 3 > 0 Û (3 − x)(x + 1) > 0 Û −1 < x < 3.

Vậy f*'*(x) > 0 thì −1 < x < 3.

Đáp án đúng là: C

Có y*'* = (ln|1 – 2x|)' = $=\frac{2}{2x-1}$ $\frac{{(1-2x)}^{'}}{1-2x}$$=\frac{-2}{1-2x}$

Vậy ${y}^{'}=\frac{2}{2x-1}$

Đáp án đúng là: C

Có ${y}^{'}={[{(\frac{2x+1}{x-1})}^{3}]}^{'}$$=3{(\frac{2x+1}{x-1})}^{2}{(\frac{2x+1}{x-1})}^{'}$

$=3{(\frac{2x+1}{x-1})}^{2}\frac{{(2x+1)}^{'}(x-1)-(2x+1){(x-1)}^{'}}{{(x-1)}^{2}}$

$=3{(\frac{2x+1}{x-1})}^{2}\frac{2(x-1)-(2x+1)}{{(x-1)}^{2}}$

$=3{(\frac{2x+1}{x-1})}^{2}\frac{2x-2-2x-1}{{(x-1)}^{2}}$$=-9\frac{{(2x+1)}^{2}}{{(x-1)}^{4}}$

Vậy ${y}^{'}=-9\frac{{(2x+1)}^{2}}{{(x-1)}^{4}}$ .

Đáp án đúng là: A

${y}^{'}={(\sqrt{1+2{\sin }^{2}x})}^{'}$$=\frac{{(1+2{\sin }^{2}x)}^{'}}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$$=\frac{4\sin x\cos x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

$=\frac{2\sin 2x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$$=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

Vậy ${y}^{'}=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

Đáp án đúng là: B

Có y*'* = (xsin$^{2}$x)' = sin$^{2}$x + x×(sin$^{2}$x)' = sin$^{2}$x + 2xsinxcosx = sin$^{2}$x + xsin2x.

Vậy y*'* = sin$^{2}$x + xsin2x.

Đáp án đúng là: C

${f}^{'}(x)={(\sqrt{1+5g(x)})}^{'}$$=\frac{{(1+5g(x))}^{'}}{2\sqrt{1+5g(x)}}$$=\frac{5{g}^{'}(x)}{2\sqrt{1+5g(x)}}$

Có ${f}^{'}(0)=\frac{5{g}^{'}(0)}{2\sqrt{1+5g(0)}}=\frac{5\cdot (-8)}{2\sqrt{1+5\cdot 3}}=-5$ (do g(0) = 3, g*'*(0) = −8).

Vậy f*'*(0) = −5.

Đáp án đúng là: A

Có f*'(x) = (xsinx)'* = sinx + xcosx, suy ra f*'*(1) = sin1 + cos1

${g}^{'}(x)={(\frac{\cos x}{x})}^{'}$$=\frac{{(\cos x)}^{'}x-\cos x\cdot {(x)}^{'}}{{x}^{2}}$$=\frac{-xs\text{inx}-\cos x}{{x}^{2}}$

suy ra ${g}^{'}(1)=\frac{-s\text{in1}-\cos 1}{{1}^{2}}=-s\text{in1}-\cos 1$

Do đó $\frac{{f}^{'}(1)}{{g}^{'}(1)}=\frac{s\text{in1+}\cos 1}{-s\text{in1}-\cos 1}=-1$

Vậy $\frac{{f}^{'}(1)}{{g}^{'}(1)}=-1$

Đáp án đúng là: D

Có ${f}^{'}(x)={(x{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}})}^{'}$$={e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}+x{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}{(-\frac{{x}^{2}}{2})}^{'}$$={e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}$

Để f*'*(x) = 0 thì ${e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}=0$$\Leftrightarrow {e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}(1-{x}^{2})=0$$\Leftrightarrow 1-{x}^{2}=0$$\Leftrightarrow x=\pm 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình f*'*(x) = 0 là S = {−1; 1}.

Đáp án đúng là: D

Có f*'*(x) = (2x$^{3}$ + 3x – 1)' = 6x$^{2}$ + 3.

g*'(x) = [3(x$^{2}$ + x) + 2]'* = 6x + 3.

Để f*'(x) < g'*(x) thì 6x$^{2}$ + 3 < 6x + 3 Û 6x$^{2}$ − 6x < 0 Û 6x(x − 1) < 0 Û 0 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f*'(x) < g'*(x) là (0; 1).

Đáp án đúng là: B

Ta có S(r) = $π{r}^{2}$ . Do đó ${S}^{'}(r)={(π{r}^{2})}^{'}=2πr$ là chu vi của đường tròn đó.

Đáp án đúng là: A

Có y*'* = [x(x – 1)$^{2}$ + x$^{2}$ + 1]' = (x – 1)$^{2}$ + 2x(x – 1) + 2x

= x$^{2}$ – 2x + 1 + 2x$^{2}$ – 2x + 2x = 3x$^{2}$ – 2x + 1.

Có y*'*(−1) = 3×(−1)$^{2}$ – 2×(−1) + 1 = 6.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x(x – 1)$^{2}$ + x$^{2}$ + 1 tại điểm A(−1; −2) có dạng: y = y*'*(−1)×(x + 1) – 2 = 6×(x + 1) – 2 = 6x + 6 – 2 = 6x + 4.

Vậy y = 6x + 4 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = ${y}^{'}={(\frac{2}{3}{x}^{3}-4{x}^{2}+5x+3)}^{'}$ = 2x$^{2}$ – 8x + 5.

Có k = 2x$^{2}$ – 8x + 5 = 2(x$^{2}$ – 4x) + 5 = 2(x$^{2}$ – 4x + 4) – 3 = 2(x – 2)$^{2}$ – 3 ³ − 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là −3 khi x = 2; $y=\frac{7}{3}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là $y=-3(x-2)+\frac{7}{3}$$=-3x+\frac{25}{3}$

Vậy $y=-3x+\frac{25}{3}$ là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Có ${y}^{'}={(\frac{1-2x}{x+2})}^{'}$$=\frac{{(1-2x)}^{'}(x+2)-(1-2x){(x+2)}^{'}}{{(x+2)}^{2}}$

$=\frac{-2(x+2)-(1-2x)}{{(x+2)}^{2}}$$=\frac{-2x-4-1+2x}{{(x+2)}^{2}}$$=\frac{-5}{{(x+2)}^{2}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1 là:

k = ${y}^{'}(-1)=\frac{-5}{{(-1+2)}^{2}}=-5$

Vậy k = −5 là hệ số góc cần tìm.

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y*'* = (−x$^{3}$ + 6x$^{2}$ – 9x + 1)' = −3x$^{2}$ + 12x – 9.

Có k = −3x$^{2}$ + 12x – 9 = −3(x$^{2}$ – 4x) – 9 = −3(x$^{2}$ – 4x + 4) + 3 = −3(x − 2)$^{2}$ + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là 3 khi x = 2; y = −1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 3(x – 2) – 1= 3x – 7.

Vậy y = 3x – 7 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Có f*'(x) = [(x$^{2}$ – x)e$^{−x}$]'* = (2x −1)e$^{−x}$ − (x$^{2}$ – x)e$^{−x}$ = (−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$.

f*"(x) = [(−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$]'* = (−2x + 3)e$^{−x}$ − (−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$ = (x$^{2}$ – 5x + 4)e$^{−x}$.

Khi đó f*"(0) = (0$^{2}$ – 5×0 + 4)e$^{−0}$ = 4. Vậy f"*(0) = 4.

Đáp án đúng là: A

Có f*'(x) = [(x$^{2}$ – x)e$^{−x}$]'* = (2x −1)e$^{−x}$ − (x$^{2}$ – x)e$^{−x}$ = (−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$.

f*"(x) = [(−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$]'* = (−2x + 3)e$^{−x}$ − (−x$^{2}$ + 3x – 1)e$^{−x}$ = (x$^{2}$ – 5x + 4)e$^{−x}$.

Khi đó f*"(0) = (0$^{2}$ – 5×0 + 4)e$^{−0}$ = 4. Vậy f"*(0) = 4.

Có y*'* = (e$^{x}$cosx)' = e$^{x}$cosx − e$^{x}$sinx

⇒ y*'* = y − e$^{x}$sinx ⇒ e$^{x}$sinx = y – y*'*.

y*"* = (e$^{x}$cosx − e$^{x}$sinx)' = e$^{x}$cosx − e$^{x}$sinx – (e$^{x}$sinx + e$^{x}$cosx) = −2e$^{x}$sinx = −2(y – y').

Do đó y*"* = −2(y – y*') Û y"* = −2y + 2y*'* Û y*"* – 2y*'* + 2y = 0.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h*'*(t) = (400 – 4,9t$^{2}$)' = −9,8t.

Khi vật chạm đất tức là h(t) = 0 Û 400 – 4,9t$^{2}$ = 0 Û $t=\frac{20\sqrt{10}}{7}$ giây.

Giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật khi nó chạm đất là $|-9{,}8\cdot \frac{20\sqrt{10}}{7}|\approx 88{,}5$ m/s.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) =${s}^{'}(t)={[5+\sin (0{,}8πt+\frac{π}{6})]}^{'}$

$=\ {(0{,}8πt+\frac{π}{6})}^{'}\cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})$$=0{,}8π\cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là a(t) = v*'*(t) = ${[0{,}8π\cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})]}^{'}$

$=-0,{8}^{2}{π}^{2}\sin (0{,}8πt+\frac{π}{6})$

Tại thời điểm vận tốc bằng 0 tức là $0{,}8π\cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})=0$$\Leftrightarrow \cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})=0$ .

Do ${\cos }^{2}(0{,}8πt+\frac{π}{6})+{\sin }^{2}(0{,}8πt+\frac{π}{6})=1$ mà $\cos (0{,}8πt+\frac{π}{6})=0$ nên

${\sin }^{2}(0{,}8πt+\frac{π}{6})=1$$\Leftrightarrow |\sin (0{,}8πt+\frac{π}{6})|=1$

Giá trị tuyệt đối của gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

$|-0,{8}^{2}{π}^{2}\sin (0{,}8πt+\frac{π}{6})|={(0{,}8π)}^{2}\approx 6{,}3$ cm/s$^{2}$.

Vậy giá trị tuyệt đối của gia tốc gần 6,3 cm/s$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s*'*(t) = 4t$^{3}$ – 12t$^{2}$ – 40t + 20.

a(t) = v*'*(t) = 12t$^{2}$ – 24t – 40.

Thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s tức là 4t$^{3}$ – 12t$^{2}$ – 40t + 20 = 20

Û 4t$^{3}$ – 12t$^{2}$ – 40t = 0 Û t = 5 (thỏa mãn) hoặc t = 0 (loại) hoặc t = −2 (loại).

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là a(5) = 12×5$^{2}$ – 24×5 – 40 = 140 m/s$^{2}$.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s là 140 m/s$^{2}$.

a) ${y}^{'}={[{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{3}]}^{'}$

$=3{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{2}{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{'}$

$=3{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{2}(2x+\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{x}})$

$=6{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{2}(x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}})$

Vậy ${y}^{'}=6{({x}^{2}-\frac{2}{x}+4\sqrt{x})}^{2}(x+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x}})$

b) y*'* = [2$^{x}$ + log$_{3}$(1 – 2x)]' = ${2}^{x}\ln 2+\frac{{(1-2x)}^{'}}{(1-2x)\ln 3}$$={2}^{x}\ln 2-\frac{2}{(1-2x)\ln 3}$

Vậy ${y}^{'}={2}^{x}\ln 2-\frac{2}{(1-2x)\ln 3}$

c) ${y}^{'}={(\frac{1-2x}{{x}^{2}+1})}^{'}$$=\frac{{(1-2x)}^{'}({x}^{2}+1)-(1-2x){({x}^{2}+1)}^{'}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$

$=\frac{-2({x}^{2}+1)-2x(1-2x)}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$$=\frac{-2{x}^{2}-2-2x+4{x}^{2}}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$$=\frac{2{x}^{2}-2x-2}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$

Vậy ${y}^{'}=\frac{2{x}^{2}-2x-2}{{({x}^{2}+1)}^{2}}$

d) y*'* = (sin2x + cos$^{2}$3x)' = cos2x×(2x)' + 2cos3x×(cos3x)'

= 2cos2x – 6cos3xsin3x = 2cos2x – 3sin6x.

Vậy y' = 2cos2x – 3sin6x.

a) Điều kiện 4 – x$^{2}$ ³ 0 Û −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có ${f}^{'}(x)={(x+\sqrt{4-{x}^{2}})}^{'}$$=1+\frac{{(4-{x}^{2})}^{'}}{2\sqrt{4-{x}^{2}}}$

$=1+\frac{-2x}{2\sqrt{4-{x}^{2}}}$$=1-\frac{x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$$=\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$

Điều kiện để f*'*(x) xác định là 4 – x$^{2}$ > 0 Û −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f*'*(x) là (−2; 2).

c) Có f*'*(x) = 0 thì $\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}=0$$\Rightarrow \sqrt{4-{x}^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{4-{x}^{2}}=x$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x>0 \\ 4-{x}^{2}={x}^{2}\end{matrix}$$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x>0 \\ 2{x}^{2}=4\end{matrix}$$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có $x=\sqrt{2}$ là giá trị cần tìm.

+) Với x < 0 thì f(x) = x$^{2}$ – x. Có f*'*(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x$^{3}$ + mx. Có f*'*(x) = −3x$^{2}$ + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi tồn tại f*'*(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{-{x}^{3}+mx}{x}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }(-{x}^{2}+m)=m$

$\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{x}$$=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }(x-1)=-1$

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Có f*'(x) = (x$^{3}$ + ax$^{2}$ + 3x + 1)'* = 3x$^{2}$ + 2ax + 3.

Để f*'(x) > 0 với mọi x Î ℝ thì 3x$^{2}$ + 2ax + 3 > 0 với mọi x Î ℝ, điều này xảy ra khi và chỉ khi D'* = a$^{2}$ – 9 < 0 Û −3 < a < 3.

Vậy −3 < a < 3 là giá trị cần tìm.

Giả sử $M({x}_{0};{x}_{0}^{3}-3{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}-1)$ là điểm thuộc đồ thị (C).

Vì tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y*'*(x$_{0}$) = 2.

Có y*'*(x$_{0}$) = $3{x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+2$

Vì y*'*(x$_{0}$) = 2 nên $3{x}_{0}^{2}-6{x}_{0}+2=2$$\Leftrightarrow 3{x}_{0}^{2}-6{x}_{0}=0$ Û x$_{0}$ = 0 hoặc x$_{0}$ = 2.

+ Với x$_{0}$ = 0 thì M(0; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x − 1 trùng với đường thẳng đề cho nên M(0; −1) không thỏa mãn.

+ Với x$_{0}$ = 2 thì M(2; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) – 1 hay y = 2x – 5.

Vậy M(2; −1) là điểm cần tìm.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x$^{2}$ – 1)$^{2}$ – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x$^{2}$ là nghiệm của phương trình: (x$^{2}$ – 1)$^{2}$ – 3 = 10 – x$^{2}$

Û x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 1 – 3 = 10 – x$^{2}$

Û x$^{4}$ – x$^{2}$ – 12 = 0

Û (x$^{2}$ + 3)(x$^{2}$ – 4) = 0

Û x$^{2}$ – 4 = 0 (do x$^{2}$ + 3 > 0 với mọi x)

Û x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y*'* = [(x$^{2}$ – 1)$^{2}$ – 3]' = 2(x$^{2}$ – 1)(x$^{2}$ – 1)' = 4x(x$^{2}$ – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y*'*(2) = 4×2×(2$^{2}$ – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y*'*(−2) = 4×(−2)×[(−2)$^{2}$ – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = ${x}^{'}(t)={[8\sin (\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})]}^{'}$

$=8.{(\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})}^{'}cos(\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})$

$=8\sqrt{2}πcos(\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là

a(t) = ${v}^{'}(t)={[8\sqrt{2}πcos(\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})]}^{'}$

$=-8\sqrt{2}π\sin (\sqrt{2}πt+\frac{π}{3}).{(\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})}^{'}$

$=-16{π}^{2}\sin (\sqrt{2}πt+\frac{π}{3})$

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$v(5)=8\sqrt{2}πcos(5\sqrt{2}π+\frac{π}{3})\approx -10{,}5$m/s.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$a(5)=-16{π}^{2}\sin (5\sqrt{2}π+\frac{π}{3})\approx 150{,}8$m/s$^{2}$.

Tại thời điểm đó vật đang chuyển động theo hướng từ phải sang trái (hướng tới vách chắn cố định).