Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương I có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có α = 105° = $105.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{{12}}$ rad.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Vì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov nên ta loại trừ đáp án B, C, D (do chưa thể xác định được khoảng cụ thể của góc α.

Mà $\widehat {uOv}$ là góc tù nên $\frac{\pi }{2} < \widehat {uOv} < \frac{{3\pi }}{2}$.

Vậy tồn tại số nguyên k để $\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\cot \frac{{89\pi }}{6} = \cot \left( {\frac{{5\pi }}{6} + 14\pi } \right) = \cot \frac{{5\pi }}{6} = - \sqrt 3$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó sin α > 0, cos α < 0.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x$; $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x$ nên đáp án A và C đúng.

Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)} \right] = \cos \left( { - x} \right) = \cos x$ nên đáp án B đúng.

Lại có $\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)} \right] = \cot \left( { - x} \right) = - \cot x$ nên đáp án D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, ta có: sin(180° – a) = sin a.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1, suy ra cos$^{2}$ x = 1 – sin$^{2}$ x = $1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Vì cot x = $\frac{1}{2}$ nên sin x ≠ 0, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{{4\sin x + 5\cos x}}{{2\sin x - 3\cos x}}$ cho sin x, ta được: $\frac{{4\sin x + 5\cos x}}{{2\sin x - 3\cos x}}$$= \frac{{4\frac{{\sin x}}{{\sin x}} + 5\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{2\frac{{\sin x}}{{\sin x}} - 3\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}} = \frac{{4 + 5\cot x}}{{2 - 3\cot x}} = \frac{{4 + 5.\frac{1}{2}}}{{2 - 3.\frac{1}{2}}} = 13$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Công thức biến đổi tổng thành tích:

$\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.

$\cos u - \cos v = - 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$.

$\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}$.

$\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}$.

Vậy đáp án B sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sin a cos a.

cos 2a = cos$^{2}$ a – sin$^{2}$ a = 1 – 2sin$^{2}$ a.

tan 2a = $\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$.

Vậy đáp án D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\sqrt {1 - \cos x}$ xác định khi 1 – cos x ≥ 0.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt {1 - \cos x}$ là D = ℝ.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (– π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), k ∈ ℤ.

Do đó, hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; π).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết, ta có các đáp án A, B, D đúng.

Lại có tập giá trị của hàm số y = tan x là ℝ nên đáp án C sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π nên đáp án C sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+) Hàm số y = sin x cos 2x có tập xác định D = ℝ.

- Ta có ∀ x ∈ D thì x + 2π ∈ D và x – 2π ∈ D, hơn nữa

f(x + 2π) = sin(x + 2π) cos(2x + 2π) = sin x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn nên đáp án A đúng.

- Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = sin(– x) . cos(– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x).

Do đó hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ nên đáp án B đúng.

+) Hàm số y = x sin x có tập xác định D = ℝ.

Ta có ∀ x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = (– x) . sin(– x) = x sin x = f(x).

Do đó hàm số y = x sin x là hàm số chẵn nên đáp án D đúng.

Vậy đáp án C sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

+) cos x = – 1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ) nên đáp án A đúng.

+) sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án B sai, từ đó suy ra đáp án C sai.

+) cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k ∈ ℤ) nên đáp án D sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $2\cos x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{6}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $x \in \left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ nên:

+ Với $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{7}{6}$ , mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k ∈ {0; 1}.

+ Với $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thì $0 \le - \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{4}{3}$, mà k ∈ ℤ, từ đó suy ra k = 1.

Vậy phương trình $2\cos x = \sqrt 3$ có 3 nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có 3cos x – 1 = 0 $\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{3}$$\Leftrightarrow \cos x \approx \cos \left( {0{,}392\pi } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 0{,}392\pi + k2\pi \\x \approx - 0{,}392\pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà x ∈ (0; 2π) nên x ≈ 0,392π hoặc x ≈ – 0,392π + 2π.

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là S = 0,392π + (– 0,392π + 2π) = 2π.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi sin 3x = sin x

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Ta có $\frac{{23\pi }}{4} = 6\pi - \frac{\pi }{4}$. Góc $\frac{{23\pi }}{4}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{{23\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \frac{{23\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $\tan \frac{{23\pi }}{4} = \cot \frac{{23\pi }}{4} = - 1$.

b) Ta có $\frac{{31\pi }}{6} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\pi$. Góс $\frac{{31\pi }}{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{1}{2};\,\,\cos \frac{{31\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$; $\tan \frac{{31\pi }}{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $\cot \frac{{31\pi }}{6} = \sqrt 3$.

c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm $M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy sin(– 1 380°) = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$; cos(– 1 380°) = $\frac{1}{2}$; tan(– 1 380°) = $\sqrt 3$ và cot(– 1 380°) = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Lời giải

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}$ độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot R = \frac{1}{4} \cdot 2\pi \cdot 1{,}75 = \frac{{7\pi }}{8} \approx 2{,}75\,\,\left( m \right)$.

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{{48}}$ đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{{48}} \cdot 2\pi \cdot R' = \frac{1}{{48}} \cdot 2\pi \cdot 1{,}26 = \frac{{21\pi }}{{400}} \approx 0{,}16\,\,\left( m \right)$.

Lời giải

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng 23° – 9° = 14°.

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng $\frac{{6\,378 \cdot 14 \cdot \pi }}{{180}} \approx 1\,558\,\,\,\left( {km} \right)$.

Lời giải

Ta có cos 2α = 2 cos$^{2}$ α – 1 = $2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{8}$.

Ta có sin$^{2}$ α = 1 – cos$^{2}$ a = $1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}$= $\frac{7}{{16}}$.

Lại do sin α > 0 nên sin α = $\frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

Suy ra sin 2α = 2 sin α cos α = $2.\frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$.

Ta có cos 2β = 1 – 2 sin$^{2}$ β = $1 - 2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}$ = $\frac{7}{{25}}$.

Ta có cos$^{2}$ β = 1 – sin$^{2}$ β = $1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}$= $\frac{{16}}{{25}}$.

Lại do $\beta \in \left( {\frac{{9\pi }}{2};\,\,5\pi } \right)$ nên cos β < 0, do đó $\cos \beta = - \frac{4}{5}$.

Suy ra sin 2β = 2 sin β cos β = $2.\frac{3}{5}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}$.

Ta có

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β = $\frac{3}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{5} = \frac{{ - 12 - 3\sqrt 7 }}{{20}}$.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β = $\frac{{\sqrt 7 }}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{3}{4}.\frac{3}{5} = \frac{{ - 9 - 4\sqrt 7 }}{{20}}$.

Lời giải

a) $\frac{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) - \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}{{\sin \left( {45^\circ + \alpha } \right) + \cos \left( {45^\circ + \alpha } \right)}}$

$$= \frac{{\left( {\sin 45^\circ \cos \alpha + \cos 45^\circ \sin \alpha } \right) - \left( {\cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha } \right)}}{{\left( {\sin 45^\circ \cos \alpha + \cos 45^\circ \sin \alpha } \right) + \left( {\cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha } \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right) - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha } \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt 2 \sin \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha$.

b) $\frac{{\sin 2\alpha + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha }}$

$= \frac{{2\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha }}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) + \cos \alpha }}$

$= \frac{{2\sin \alpha \left( {\cos \alpha + 1} \right)}}{{2\cos \alpha \left( {\cos \alpha + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha$.

c) $\frac{{1 + \cos \alpha - \sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha - \sin \alpha }}$

$= \frac{{1 + \left( {2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 1} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \right) - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}$

$= \frac{{2{{\cos }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}{{2{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} - 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}}$

$= \frac{{2\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{\alpha }{2}} \right)}}$

$= \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\left[ { - \left( {\cos \frac{\alpha }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}} \right)} \right]}}$

$= - \frac{{\cos \frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}}} = - \cot \frac{\alpha }{2}$.

d) $\frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }}$

$$= \frac{{\left( {\sin 5\alpha + \sin \alpha } \right) + \sin 3\alpha }}{{\left( {\cos 5\alpha + \cos \alpha } \right) + \cos 3\alpha }}$$

$= \frac{{2\sin \frac{{5\alpha + \alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha - \alpha }}{2} + \sin 3\alpha }}{{2\cos \frac{{5\alpha + \alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha - \alpha }}{2} + \cos 3\alpha }}$

$= \frac{{2\sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha }}{{2\cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha }}$

$= \frac{{\sin 3\alpha \left( {2\cos 2\alpha + 1} \right)}}{{\cos 3\alpha \left( {2\cos 2\alpha + 1} \right)}}$

$= \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }} = \tan 3\alpha$.

Lời giải

a) Cách 1:

$A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

$$= \left( {\sin \frac{\pi }{4}\cos x + \cos \frac{\pi }{4}\sin x} \right) - \left( {\cos \frac{\pi }{4}\cos x + \sin \frac{\pi }{4}\sin x} \right)$$

$= \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x} \right) = 0\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

$= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]$

$= \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) = 0\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right]$

$= \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \frac{\pi }{3} - x} \right)} \right]$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos \left( { - 2x} \right)} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2} + \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)} \right]$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 2{{\sin }^2}x} \right)$

$= {\sin ^2}x + \frac{1}{4} - {\sin ^2}x = \frac{1}{4}\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x$

$= \frac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\cos x}}{{1 + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + 2\sin x\cos x}}.\cot x$

$= \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x$

$= \frac{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}.\cot x$

$= \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\,\,\,\forall x$.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.

Lời giải

a) Ta có f(t) = f$_{1}$(t) + f$_{2}$(t)

= C sin ωt + C sin(ωt + α)

= C sin ωt + C(sin ωt cos α + cos ωt sin α)

= C sin ωt + C sin ωt cos α + C cos ωt sin α

= C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt.

Vậy f(t) = C(1 + cos α) sin ωt + C sin α cos ωt với A = C(1 + cos α) và B = C sin α.

b) Khi C = 10 và $\alpha = \frac{\pi }{3}$ ta có

$f\left( t \right) = 10\sin \omega t + 10\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 10\left[ {\sin \omega t + \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]$

$= 10.2\sin \frac{{\omega t + \omega t + \frac{\pi }{3}}}{2}\cos \frac{{\omega t - \omega t - \frac{\pi }{3}}}{2}$

$= 20\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)$

$= 10\sqrt 3 \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{6}} \right)$.

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là $k = 10\sqrt 3$ và $\varphi = \frac{\pi }{6}$.

Lời giải

a) Biểu thức $\cos \frac{{2x}}{{x - 1}}$ có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

b) Biểu thức $\frac{1}{{\cos x - \cos 3x}}$ có nghĩa khi cos x – cos 3x ≠ 0 hay cos x ≠ cos 3x

⇔ 3x ≠ ± x + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x ≠ k$\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Biểu thức $\frac{1}{{\cos x + \sin 2x}}$ có nghĩa khi cos x + sin 2x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ – sin 2x

⇔ cos x ≠ sin (– 2x) $\Leftrightarrow \cos x \ne \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)$ $\Leftrightarrow \cos x \ne \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \\x \ne - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x \ne - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\, - \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Biểu thức tan x + cot x có nghĩa khi

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

a) Ta có y = sin x – cos x = $\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vì $- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên $- \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$, với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt 2$, đạt được khi $\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt 2$, đạt được khi $\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Ta có y = sin x + sin$\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$ $= 2\sin \frac{{x + \frac{\pi }{3} - x}}{2}\cos \frac{{x - \frac{\pi }{3} + x}}{2}$

$= 2\sin \frac{\pi }{6}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$$= 2.\frac{1}{2}\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Ta có $- 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1$$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1$$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Ta có y = sin$^{4}$ x + cos$^{4}$ x = (sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)$^{2}$ – 2sin$^{2}$ x cos$^{2}$ x

= 1 – 2 (sin x cos x)$^{2}$ = $1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2}$= $1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

= $1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2}$ = $1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$ = $\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên $- \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{1}{4}$, do đó $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2} \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \le 1\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$, đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos$^{2}$ x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos$^{2}$ x + 2cos x – 2

= 2t$^{2}$ + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t$^{2}$ + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{5}{2}$, đạt được khi $\cos x = - \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số y = sin$^{3}$ x – cot x là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Nếu kí hiệu f(x) = sin$^{3}$ x + cot x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin$^{3}$ (–x) – cot(– x) = – sin$^{3}$ x + cot x = – (sin$^{3}$ x – cot x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số $y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Nếu kí hiệu $f\left( x \right) = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}$ thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

$f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( { - x} \right) + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{\cos x + {{\left( { - \tan x} \right)}^2}}}{{\cos x}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f\left( x \right)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin 2x + cos x là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = sin 2x + cos x thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$ là D = ℝ.

Ta có $y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

$= \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) + \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)} \right] + \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)} \right]$

$= \sin \pi + \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - 2x} \right)$$= 0 - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)$

$= - \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)} \right]$$= - \cos 2x$.

Nếu kí hiệu $f\left( x \right) = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = - \cos 2x$ thì với mọi x ∈ D ta có: – x ∈ D và f(– x) = – cos (– 2x) = – cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Lời giải

a) Hàm số y = sin$\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = $\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi$, hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì T$_{2}$ = $\frac{{2\pi }}{3}$. Ta có $4\pi = 6 \cdot \frac{{2\pi }}{3}$.

Ta chỉ ra rằng hàm số f(x) = = sin$\frac{x}{2}$ + cos 3x tuần hoàn như sau:

$f\left( {x + 4\pi } \right) = \sin \frac{{x + 4\pi }}{2} + \cos 3\left( {x + 4\pi } \right)$

$= \sin \left( {\frac{x}{2} + 2\pi } \right) + \cos \left( {3x + 12\pi } \right)$

$= \sin \frac{x}{2} + \cos 3x = f\left( x \right)\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π.

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì T$_{1}$ = $\frac{{2\pi }}{5}$, hàm số y = tan$\frac{x}{3}$ hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{\pi }{{\frac{1}{3}}} = 3\pi$.

Ta có $6\pi = 2 \times 3\pi = 15 \times \frac{{2\pi }}{5}$.

Ta có thể chỉ ra hàm số f(x) = cos5x + tan$\frac{x}{3}$ tuần hoàn như sau

$f\left( {x + 6\pi } \right) = \cos 5\left( {x + 6\pi } \right) + \tan \frac{{x + 6\pi }}{3}$

$= \cos \left( {5x + 30\pi } \right) + \tan \left( {\frac{x}{3} + 2\pi } \right)$$= \cos 5x + \tan \frac{x}{3} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 6π.

Lời giải

a) Ta có $\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\3x = \frac{{4\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Ta có $\tan \left( {\frac{x}{3} + 10^\circ } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$

$\Leftrightarrow \tan \left( {\frac{x}{3} + 10^\circ } \right) = \tan \left( { - 30^\circ } \right)$

⇔ $\frac{x}{3}$ + 10° = – 30° + k180° (k ∈ ℤ)

⇔ x = – 120° + k540° (k ∈ ℤ).

c) Ta có sin 3x – cos 5x = 0

⇔ sin 3x = cos 5x

$\Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 5x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{4}\\x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Điều kiện cos 3x ≠ 0 và cos x ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 0 .

Ta có tan 3x tan x = 1

$\Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}}$

⇔ tan 3x = cot x

$\Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

$\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta thấy $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{5} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

$\Leftrightarrow - 2\sin \frac{{3x + 5x}}{2}\sin \frac{{3x - 5x}}{2} = \sin x$

$\Leftrightarrow - 2\sin 4x\sin \left( { - x} \right) = \sin x$

$\Leftrightarrow 2\sin 4x\sin x - \sin x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin 4x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin 4x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).

+ Với $\sin 4x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

c) Ta có 2 cos$^{2}$ x + cos 2x = 2

⇔ (2 cos$^{2}$ x – 1) + cos 2x = 1

⇔ cos 2x + cos 2x = 1

⇔ 2cos 2x = 1

⇔ cos 2x = $\frac{1}{2}$

⇔ cos 2x = $\cos \frac{\pi }{3}$

⇔ 2x = $\pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

d) Ta có sin$^{4}$ x + cos$^{4}$ x = $\frac{1}{2}$sin$^{2}$ 2x

$\Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2} = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$

$\Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1$

$\Leftrightarrow \cos 2x = 0$ (do sin$^{2}$ 2x + cos$^{2}$ 2x = 1)

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ và BC = 30sin θ.

Vậy diện tích mặt cắt là S = AB ∙ BC = 30cos θ ∙ 30sin θ = 450sin 2θ.

b) Vì – 1 ≤ sin 2θ ≤ 1 nên ta có S = 450sin 2θ ≤ 450.

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi sin 2θ = 1 hay góc θ = 45°.

Lời giải

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P\left( t \right) = 100 \Leftrightarrow 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 100$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 0$$\Leftrightarrow \frac{{7\pi }}{3}t = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow t = \frac{{3k}}{7}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Xét 0 < t < 1 $\Leftrightarrow 0 < \frac{{3k}}{7} < 1 \Leftrightarrow 0 < k < \frac{7}{3}$. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P\left( t \right) = 120 \Leftrightarrow 100 + 20\sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 120$

$\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{7\pi }}{3}t} \right) = 1$$\Leftrightarrow \frac{{7\pi }}{3}t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$\Leftrightarrow t = \frac{3}{{14}} + \frac{{6k}}{7}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.