Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 3. Hàm số lượng giác có đáp án

Lời giải

a) Biểu thức cot 3x có nghĩa khi sin 3x ≠ 0 hay $3x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$ hay $x \ne k\frac{\pi }{3},\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Biểu thức $\sqrt {1 - \cos 4x}$ có nghĩa với mọi x vì cos 4x ≤ 1 với mọi x hay 1 – cos 4x ≥ 0 với mọi x.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.

c) Biểu thức $\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - \left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - \cos 2x}}$ có nghĩa khi

cos 2x ≠ 0 hay $2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$, tức là $x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}|\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

d) Ta có cos 2x ≥ – 1 nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x.

sin 2x ≤ 1 nên 1 – sin 2x ≥ 0 với mọi x.

Do đó, biểu thức $\sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}}$có nghĩa khi sin 2x ≠ 1 hay $2x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$, tức là $x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Lời giải

a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ $\sqrt {\sin x}$ ≤ 1 nên 0 ≤ 2$\sqrt {\sin x}$ ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2$\sqrt {\sin x}$ + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos$^{2}$ x + 4 cos2x $= 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x$$= \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x$.

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên $- \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}$,

do đó $- 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = $\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Vì $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên $- \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$, với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt 2$, đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hay $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt 2$, đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hay $x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {0}. Nếu kí hiệu f(x) = $\frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}$ thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = $\frac{{\cos 2\left( { - x} \right)}}{{{{\left( { - x} \right)}^2}}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - {x^3}}} = - \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}} = - f\left( x \right)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = x – sin 3x thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = (– x) – sin 3(– x) = – x + sin 3x = – (x – sin 3x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = $\sqrt {1 + \cos x}$ thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = $\sqrt {1 + \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 + \cos x} = f\left( x \right)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có $y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)$

$= 1 + \cos x\left( {\sin \frac{{3\pi }}{2}\cos 2x - \cos \frac{{3\pi }}{2}\sin 2x} \right)$

$= 1 - \cos x\cos 2x$.

Nếu kí hiệu f(x) = 1 – cos x cos 2x thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và

f(– x) = 1 – cos (– x) cos (– 2x) = 1 – cos x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = A sin(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có

$x + \frac{{2\pi }}{\omega } \in D,\,\,x - \frac{{2\pi }}{\omega } \in D$ và

$f\left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) = A\sin \left( {\omega \left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) + \varphi } \right)$= A sin(ωx + 2π + φ) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{{2\pi }}{\omega }$.

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số f(x) = A tan(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có:

$x + \frac{\pi }{\omega } \in D,\,\,x - \frac{\pi }{\omega } \in D$ và

$f\left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) = A\tan \left( {\omega \left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) + \varphi } \right)$= A tan(ωx + π + φ) = A tan(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{\pi }{\omega }$.

c) Ta có 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = $3\sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin 2x + 3cos 2x là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{{2\pi }}{2} = \pi$.

d) Ta có $y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 3.2\sin \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\cos \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}$

$= 3\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)$.

Vậy theo câu a, hàm số $y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$ là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{{2\pi }}{2} = \pi$.

Lời giải

a) Đẳng thức tan x cot x = 1 đúng với mọi x khi tan x và cot x có nghĩa, tức là

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.$⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) $\Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Đẳng thức 1 + tan$^{2}$ x = $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ đúng với mọi x khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

c) Đẳng thức 1 + cot$^{2}$ x = $\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ đúng với mọi x khi sinx ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

d) Đẳng thức tan x + cot x = $\frac{2}{{\sin 2x}}$ đúng với mọi x khi

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right.$⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) $\Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải

a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = cos x qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = – cos x.

Trong hình trên, đồ thị hàm số y = cos x là đường nét đứt còn đồ thị hàm số y = – cos x là đường nét liền.

b) Ta có $y = \left| {\cos x} \right| = \left\{ \begin{array}{l}\cos x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\cos x \ge 0\\ - \cos x\,\,\,\,khi\,\,\,\cos x < 0\end{array} \right.$.

Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |cos x| đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía dưới trục Ox.

Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = |cos x| là đường nét liền.

c) Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x + 1, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = cosx + 1. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = cos x + 1 là đường nét liền.

d) Để vẽ đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái $\frac{\pi }{2}$ đơn vị ta sẽ được đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$. Trong hình vẽ dưới đây đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ là đường nét liền.

Chú ý rằng $\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin x$ nên đồ thị hàm số $y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ cũng có thể có được bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = sin x qua trục Ox.

Lời giải

a) Trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$, đồ thị hàm số y = sinx cắt trục Ox tại bốn điểm x = − π, x = 0, x = π và x = 2π. Suy ra có bốn giá trị của x để sin x = 0 trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là x = − π, x = 0, x = π và x = 2π.

b) Giải bất phương trình sinx > 0 là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = sinx nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình sinx > 0 trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $S = \left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \pi } \right) \cup \left( {0;\,\,\pi } \right) \cup \left( {2\pi ;\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right)$.

Lời giải

a) Trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$, đồ thị hàm số y = sinx cắt trục Ox tại bốn điểm x = − π, x = 0, x = π và x = 2π. Suy ra có bốn giá trị của x để sin x = 0 trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là x = − π, x = 0, x = π và x = 2π.

b) Giải bất phương trình sinx > 0 là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = sinx nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình sinx > 0 trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là $S = \left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \pi } \right) \cup \left( {0;\,\,\pi } \right) \cup \left( {2\pi ;\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right)$.

Lời giải

a) Hàm số y = 25 sin 4πt tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{4\pi }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là T = $\frac{1}{2}$ giây.

b) Vì chu kì dao động của con lắc là T = $\frac{1}{2}$ giây nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là $f = \frac{1}{T}$= 2 Hz.

c) Vì phương trình dao động của con lắc là y = 25 sin 4πt nên biên độ dao động của nó là A = 25 cm. Từ đó suy ra, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A = 50 cm.

Lời giải

a) - Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có t = 8 – 6 = 2. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là

$S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 \,\,\,\left( m \right)$.

- Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có t = 12 – 6 = 6. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là

$S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0\,\,\,\left( m \right)$.

Tại thời điểm 12 giờ trưa, Mặt Trời chiếu thẳng đứng từ trên đầu xuống nên toàn bộ toà nhà được chiếu xuống móng của toà nhà.

- Tại thời điểm 2 giờ chiều ta có t = 14 – 6 = 8. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là

$S\left( 8 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\left( m \right)$.

- Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối, ta có t = $\left( {17 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}$. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối là

$S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59{,}86\,\,\left( m \right)$.

b) Độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao tòa nhà khi

S(t) = 40 $\Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40 \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ ⇔ t = ±3 + 12k (k ∈ ℤ).

Vì 0 ≤ t ≤ 12 nên t = 3 hoặc t = 9, tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.

c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t → 12, vì vậy $\frac{\pi }{{12}}t \to \pi$, do đó $\cos \frac{\pi }{{12}}t \to - \infty$.

Như vậy, bóng của toà nhà sẽ tiến ra vô cùng.