Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Lấy K là trung điểm của BC.

Xét tam giác BCD có N là trung điểm BD, K là trung điểm BC nên NK là đường trung bình. Do đó NK // CD và $NK=\frac{DC}{2}=a$.

Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, K là trung điểm BC nên MK là đường trung bình. Do đó MK // AB và $MK=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}a$.

Có MN$^{2}$= 3a$^{2}$ ; NK$^{2}$ + MK$^{2}$ = ${a}^{2}+{(\sqrt{2}a)}^{2}=3{a}^{2}$.

Do đó MN$^{2}$= NK$^{2}$ + MK$^{2}$ nên tam giác MNK là tam giác vuông tại K hay NK ^ MK.

Lại có MK // AB, NK // CD nên (AB, CD) = (MK, NK) = 90° hay AB ^ CD.

a) Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a và đáy ABCD là hình vuông nên

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$.

Mà SB$^{2}$+ SD$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$. Do đó SB$^{2}$+ SD$^{2}$ = BD$^{2}$ nên tam giác SBD vuông tại S.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN // SB.

Khi đó (MN, SD) = (SB, SD) = 90°.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình vuông nên O là trung điểm AC, BD.

Xét tam giác SAC có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình, suy ra MO // SC.

Khi đó (MO, SB) = (SC, SB) = $\widehat{BSC}=60^{\circ}$ (do tam giác SBC là tam giác đều).

b) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC, N là trung điểm AB nên ON là đường trung bình, suy ra ON // BC.

Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = $\widehat{SNO}$.

Vì tam giác SAC có SA = SC = a nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao.

Vì BD$^{2}$ = 2a$^{2}$ và ABCD là hình vuông nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác SOC vuông tại O, có:

SC$^{2}$= SO$^{2}$ + OC$^{2}$ $\Leftrightarrow {a}^{2}=S{O}^{2}+{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}\Leftrightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì ON là đường trung bình của tam giác ABC nên $ON=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác đều SAB có SN là trung tuyến đồng thời là đường cao hay SN ^ AB.

Xét tam giác vuông SNB vuông tại N, ta có:

SN$^{2}$+ NB$^{2}$ = SB$^{2}$ $\Leftrightarrow S{N}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}={a}^{2}\Leftrightarrow S{N}^{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}$

Lại có $S{O}^{2}+O{N}^{2}={(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}$. Do đó tam giác SON vuông tại O.

Xét tam giác vuông SON vuông tại O có $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{2}$.

Vậy tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC là $\sqrt{2}$.

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên (EF, AC) = (AB, AC) = $\widehat{BAC}$.

Kẻ CH ^ AB tại H, DK ^ AB tại K.

Ta có CDKH là hình chữ nhật nên CH = DK, CD = HK.

Xét DCHA và DDKB có

CA = DB, $\widehat{CHA}=\widehat{DKB}=90^{\circ}$, CH = DK nên DCHA = DDKB (c – g – c).

Suy ra AH = KB.

Khi đó $AH=\frac{AB-CD}{2}=10$ (cm) = 0,1 (m).

Vì tam giác ACH vuông tại H nên $\text{cos}\widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}=\frac{0{,}1}{6}=\frac{1}{60}\Rightarrow \widehat{CAH}\approx 89{,}05^{\circ}$.

Do đó, $\widehat{BAC}\approx 89{,}05^{\circ}$.

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang khoảng 89,05°.