Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 2. Công thức lượng giác có đáp án

Lời giải

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

$= \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}$.

sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

$= \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$.

Do đó, $\tan 105^\circ = \frac{{\sin 105^\circ }}{{\cos 105^\circ }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }},\,\,\cot 105^\circ = \frac{1}{{\tan 105^\circ }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$.

Lời giải

Vì $\frac{\pi }{4}$ < x < $\frac{\pi }{2}$ nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 - \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{9}{{10}}$ ⇒ sin x = $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$.

${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 + \left( { - \frac{4}{5}} \right)}}{2} = \frac{1}{{10}}$ ⇒ cos x = $\frac{1}{{\sqrt {10} }}$.

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

Theo công thức cộng, ta có

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}$.

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} = \left( { - \frac{4}{5}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}$.

Lời giải

sin$^{4}$ a + cos$^{4}$ a = (sin$^{2}$ a + cos$^{2}$ a)$^{2}$ – 2sin$^{2}$ a cos$^{2}$ a = 1 – 2 . (sin a cos a)$^{2}$

= $1 - 2.{\left( {\frac{{\sin 2a}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a$$= 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4a}}{2} = 1 - \frac{{1 - \cos 4a}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a$.

Vậy ${\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a$.

Lời giải

a) $A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}$

$= \left( {\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2\sin \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{7\pi }}{9}}}{2}.\cos \frac{{\frac{\pi }{9} - \frac{{7\pi }}{9}}}{2} - \sin \frac{{5\pi }}{9}$

$= 2\sin \frac{{4\pi }}{9}.\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{{5\pi }}{9}$

$= \sin \frac{{4\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9}$

$= \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}$

$= \sin \frac{{5\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} = 0$.

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{2}\sin 12^\circ$ cos 12° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{4}$ sin 24° cos 24° cos 48°

= $\frac{1}{8}$ sin 48° cos 48°

= $\frac{1}{{16}}$sin 96°

= $\frac{1}{{16}}$sin(90° + 6°) = $\frac{1}{{16}}$cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{{16}}$.

Lời giải

a) $VP = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos a\cos \frac{\pi }{4} - \sin a\sin \frac{\pi }{4}} \right)$$= \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos a - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin a} \right)$

$= \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos a - \sin a} \right) = \cos a - \sin a = VT$.

b) $VP = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right) = 2\left( {\sin a\cos \frac{\pi }{3} + \cos a\sin \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 2\left( {\frac{1}{2}\sin a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a} \right)$$= \sin a + \sqrt 3 \cos a = VT$.

Lời giải

$VT = \sin A + \sin B + \sin C$$= 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}$.

Từ đó suy ra: $\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2},\,\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{{A + B}}{2}$.

Vậy $VT = 2\sin \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$= 2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{{A - B}}{2} + 2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{C}{2}$

$= 2\cos \frac{C}{2}\left( {\cos \frac{{A - B}}{2} + \cos \frac{{A + B}}{2}} \right)$

$= 2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} + \frac{{A + B}}{2}}}{2}\cos \frac{{\frac{{A - B}}{2} - \frac{{A + B}}{2}}}{2}$

$= 4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left( { - \frac{B}{2}} \right)$

$= 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = VP$ (điều phải chứng minh).