Giải SBT Toán 11 CTST Bài tập cuối chương 2 có đáp án

Đáp án đúng là: D

${u}_{1}=\frac{1}{1}=1;$ ${u}_{2}=\frac{1}{2};$ ${u}_{3}=\frac{1}{3};$

Ta thấy u$_{1}$ > u$_{2}$ > u$_{3}$.

Vậy (u$_{n}$) là dãy số giảm.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u}_{n}=\frac{1}{{9}^{n}}<1$ với ∀n ∈ ℕ*, suy ra (un) bị chặn trên.

Đáp án đúng là: C

Công sai d = u$_{2}$ – u$_{1}$ = ‒1 ‒ 3 = ‒4.

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng là: u$_{3}$ = u$_{2}$ + d = ‒1 + (‒4) = ‒5.

Đáp án đúng là: B

Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là: u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d = 3 + 3.5 = 18.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\{\begin{matrix}{u}_{4}=-12 \\ {u}_{14}=18\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+3d=-12 \\ {u}_{1}+13d=18\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=-21 \\ d=3\end{matrix}$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

${S}_{16}=\frac{16[2\cdot (-21)+(16-1)\cdot 3]}{2}=24$.

Đáp án đúng là: B

Công sai d = ‒5 ‒ (‒2) = ‒3.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

${S}_{20}=\frac{20[2\cdot (-2)+19\cdot (-3)]}{2}=-610.$

Đáp án đúng là: A

Ta có u$_{6}$ = u$_{1}$.q$^{5}$, suy ra 486 = 2.q$^{5}$

Do đó q$^{5}$ = 243 = 3$^{5}$ nên q = 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có u$_{4}$ = u$_{1}$.q$^{3}$, suy ra 192 = 3.q$^{3}$,

Do đó q$^{3}$ = 64 = 4$^{3}$ nên q = 4

Tổng số hạng các cấp số nhân là:

${S}_{4}=\frac{{u}_{1}(1-{q}^{4})}{1-q}=\frac{3(1-{4}^{4})}{1-4}=255.$

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: (1 + d)2 = (1 ‒ d)2 + 12

Suy ra 1 + 2d + d2 = 1 – 2d + d2 + 1

Do đó 4d = 1

Suy ra$\ d=\frac{1}{4}\text{.}$

Khi đó $a-d=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ và $a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4};\ 1;\ \frac{5}{4}$.

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u1, u2, u3, …, un (với 0 < u1 < u2 < … < un).

Khi đó ta có:

$\{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{2}+\ldots +{u}_{n}={S}_{n}=213 \\ {u}_{n}=53\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{n}{2}({u}_{1}+{u}_{n})=213 \\ {u}_{1}+(n-1)d=53\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}n({u}_{1}+53)=426\ (1) \\ {u}_{1}+7(n-1)=53\ (2)\end{matrix}$

Từ (2) suy ra u1 = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n2 – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n=\frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

⇔ (b ‒ a)$^{2}$ = (c ‒ b)$^{2}$

⇔ b$^{2}$ ‒ 2ab + a$^{2}$ = c$^{2}$ ‒ 2bc + b$^{2}$

⇔ a$^{2}$ ‒ c$^{2}$ = 2ab ‒ 2bc.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u$_{1}$ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix}{u}_{3}-{u}_{1}=24 \\ {u}_{6}-{u}_{4}=3000\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot {q}^{2}-{u}_{1}=24 \\ {u}_{1}\cdot {q}^{5}-{u}_{1}\cdot {q}^{3}=3000\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}\cdot ({q}^{2}-1)=24\ (*) \\ {u}_{1}\cdot {q}^{3}\cdot ({q}^{2}-1)=3\ 000\end{matrix}$

Suy ra $\frac{1}{{q}^{3}}=\frac{24}{3\ 000}\Rightarrow {q}^{3}=125\Leftrightarrow q=5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: u$_{1}$(5$^{2}$ – 1) = 24 ⇔ u$_{1}$ = 1

Vậy u$_{1}$ = 1, q = 5.

Gọi q là công bội của cấp số nhân (un).

Ta có u3 = u1.q2, u8 = u1.q7, suy ra $\frac{{u}_{3}}{{u}_{8}}=\frac{{u}_{1}\cdot {q}^{2}}{{u}_{1}\cdot {q}^{7}}=\frac{1}{{q}^{5}}=243$, suy ra $q=\frac{1}{3}$.

Do đó ${u}_{9}={u}_{1}\cdot {q}^{8}=12\cdot {(\frac{1}{3})}^{8}=\frac{4}{2\ 187}$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

${S}_{n}=\frac{{u}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=\frac{3\cdot (1-{2}^{n})}{1-2}=765\$

⇔ 2n – 1 = 255 ⇔ 2n = 256 = 28

⇒ n = 8.

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: u$_{1}$ = 6 144 m$^{2}$

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: ${u}_{2}=6\ 144\cdot \frac{1}{2}=3\ 072{\text{m}}^{2}$

....

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u$_{n}$ với n ∈ ℕ*.

Dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân là u$_{1}$ = 6 144 và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: ${u}_{n}=6\ 144\cdot {(\frac{1}{2})}^{n-1}$

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 10 nên ta có:

${u}_{10}={u}_{1}\cdot {q}^{9}=6\ 144\cdot {(\frac{1}{2})}^{9}=12\ ({\text{m}}^{2})$.

Gọi u$_{n}$ là nhiệt độ của khay nước đó sau n – 1 giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có:

u$_{1}$ = 20;

u$_{2}$ = 20 – 20.25% = 20.(1 – 25%) = 20.75%;

u$_{3}$ = 20.75%.75% = 20.(75%)$^{2}$; ...

Suy ra dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 20 và công bội q = 75% có số hạng tổng quát u$_{n}$ = 20.(75%)$^{n – 1}$độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u$_{5}$ = 20.(75%)$^{4}$ ≈ 6,33°C.