Giải SBT Toán 11 CTST Bài 2. Cấp số cộng có đáp án

a) Ta có: u$_{1}$ = 2.1 + 3 = 5; u$_{n}$ = 2n + 3 và u$_{n+1}$ = 2(n + 1) +3 = 2n + 5

Do đó u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 2n + 5 – (2n + 3) = 2.

Vậy u$_{n}$ = 2n + 3 là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công sai d = 2.

b) Ta có: u$_{1}$ = ‒3.1 + 1 = −2; u$_{n}$ = ‒3n + 1 và u$_{n+1}$ = ‒3(n + 1) + 1 = ‒3n – 2.

Do đó u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = ‒3n – 2 – (‒3n + 1) = – 3.

Vậy u$_{n}$ = ‒3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = −2 và công sai d = ‒3.

c) Xét u$_{n}$ = n$^{2}$ + 1 có:

u$_{1}$ = 1$^{2}$ + 1 = 2;

u$_{2}$ = 2$^{2}$ + 1 = 5;

u$_{3}$ = 3$^{2}$ + 1 = 10

Ta thấy: u$_{2}$ ‒ u$_{1}$ ≠ u$_{3}$ ‒ u$_{2}$

Vậy u$_{n}$ = n$^{2}$ + 1 không phải là cấp số cộng.

d) Xét ${u}_{n}=\frac{2}{n}$ có:

${u}_{1}=\frac{2}{1}=2;$ ${u}_{2}=\frac{2}{2}=1;$ ${u}_{3}=\frac{2}{3}.$

Ta thấy: u$_{2}$ ‒ u$_{1}$ ≠ u$_{3}$ ‒ u$_{2}$

Vậy ${u}_{n}=\frac{2}{n}$ không phải là cấp số cộng.

a) Ta có: u$_{1}$ = 3.1 + 1 = 4; u$_{n}$ = 3n + 1; và u$_{n}$$_{+1}$ = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.

Do đó u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = 3n + 4 – (3n + 1) = 3.

Vậy u$_{n}$ = 3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 4 và công sai d = 3.

b) Ta có: u$_{1}$ = 4 ‒ 5.1 = ‒1; u$_{n}$ = 4 ‒ 5n và u$_{n+1}$ = 4 – 5(n + 1) = −1 – 5n.

Do đó u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = −1 – 5n – (4 ‒ 5n) = −5.

Vậy u$_{n}$ = 4 ‒ 5n là cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = ‒1 và công sai d = ‒5.

a) Ta có: u$_{1}$ = 7.1 ‒ 3 = 4; u$_{2}$ = 7.2 ‒ 3 = 11.

Vậy cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu u$_{1}$ = 4 và công sai d = u$_{2}$ ‒ u$_{1}$ = 11 ‒ 4 = 7.

b) u$_{2012}$ = 7.2012 ‒ 3 = 14081.

c) u$_{100}$ = 7.100 ‒ 3 = 697.

${S}_{100}=\frac{100({u}_{1}+{u}_{100})}{2}=\frac{100(4+697)}{2}=35\ 050.$

d) Ta có u$_{n}$ = 1 208

Do đó 7n ‒ 3 = 1 208

Suy ra n = 173

Vậy số 1 208 là số hạng thứ 173 .

a) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là:

un = u1 + (n ‒ 1)d = 5 + (n ‒ 1).3 = 3n + 2.

b) Ta có u99 = 3.99 + 2 = 299.

c) Ta có: un = 1 502 nên 3n + 2 = 1 502, suy ra n = 500.

Vậy số 1502 là số hạng thứ 500 .

d) ${S}_{n}=34\ 275=\frac{n[2{u}_{1}+(n-1)d]}{2}=\frac{n[2\cdot 5+(n-1)3]}{2}$

Suy ra n(10 + 3n – 3) = 2 . 34 275

Hay 3n2 + 7n – 68 550 = 0

Suy ra $[\begin{matrix}n=150 \\ n=-\frac{457}{2}\end{matrix}$

Mà n ≥ 2 nên n = 150.

Ta có:

u$_{18}$ = u$_{1}$ + 17d;

u$_{3}$ = u$_{1}$ + 2d.

Do đó:

u$_{18}$ ‒ u$_{3}$ = 75

⇔ u$_{1}$ + 17d ‒ (u$_{1}$ + 2d) = 75

⇔ 15d = 75

⇔ d = 5.

Vậy cấp số cộng (u$_{n}$) có công sai d = 5.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u$_{1}$ và công sai là d.

Ta có:

u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d;

u$_{12}$ = u$_{1}$ + 11d.

Do đó: u$_{4}$ + u$_{12}$ = 90

⇔ u$_{1}$ + 3d + u$_{1}$ + 11d = 90

⇔ 2u$_{1}$ + 14d = 90.

Khi đó ${S}_{15}=\frac{15[2{u}_{1}+(15-1)d]}{2}=\frac{15(2{u}_{1}+14d)}{2}=\frac{15\cdot 90}{2}=675.$

Gọi u$_{n}$ là số tiền lương của bác Tư nhận được vào năm thứ n.

Khi đó, dãy số (u$_{n}$) tạo thành cấp số cộng có u$_{1}$ = 240 và d = 12.

Ta có u$_{11}$ = u$_{1}$ + 10d = 240 + 10.12 = 360.

Vậy vào năm thứ 11, số tiền lương một năm của bác Tư là 360 triệu đồng.

Gọi un là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số (un) tạo thành cấp số cộng với u1 = 20 và d = 1.

Tổng số ghế có trong rạp hát là: ${S}_{20}=\frac{20\cdot [2\cdot 20+(20-1)\cdot 1]}{2}=590$ (ghế).

Tổng số tiền vé thu được là: 590 . 60 000 = 35 400 000 (đồng).