Giải SBT Toán 11 CTST Bài 1. Đạo hàm có đáp án

Lời giải

Với ${x}_{0}\ne 0$, ta có:

${y}^{'}({x}_{0})=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{f(x)-f({x}_{0})}{x-{x}_{0}}=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{{x}_{0}}}{x-{x}_{0}}$

$\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{{x}_{0}}}{(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{{x}_{0}})(\sqrt[3]{{x}^{2}}+\sqrt[3]{x{x}_{0}}+\sqrt[3]{{{x}_{0}}^{2}})}$

$=\underset{x\rightarrow {x}_{0}}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{{x}^{2}}+\sqrt[3]{x{x}_{0}}+\sqrt[3]{{{x}_{0}}^{2}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}_{0}}^{2}}}$.

Vậy ${y}^{'}(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x}^{2}}}\ (x\ne 0)$.

Ta có ${y}^{'}=2x$.

a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm (−1; 1) có hệ số góc ${y}^{'}(-1)=2.(-1)=-2$.

b) Gọi giao điểm của (P) với đường thẳng y = −3x + 2 là M(x$_{0}$; y$_{0}$).

Ta có ${x}_{0}^{2}=-3{x}_{0}+2\Leftrightarrow {x}_{0}^{2}+3{x}_{0}-2=0$

$\Leftrightarrow {x}_{0}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$; ${x}_{0}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.

• Với ${x}_{0}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là ${y}^{'}(\frac{-3+\sqrt{17}}{2})=-3+\sqrt{17}$.

• Với ${x}_{0}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$, hệ số góc của tiếp tuyến là ${y}^{'}(\frac{-3-\sqrt{17}}{2})=-3-\sqrt{17}$.

a) Ta có

• $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$;

• $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }({x}^{2}-x+2)={2}^{2}-2+2=4$.

Vì $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=\frac{1}{3}\ne 4=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.

b) Ta có

• $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(\frac{2}{x}+1)=\frac{2}{1}+1=3$;

• $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }({x}^{2}+2)={1}^{2}+2=3$.

Vì $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=3=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

• $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}+2x-3}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(x+3)=1+3=4$.

• $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}\text{+1}-3}{x-1}$

$=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{2-2x}{x(x-1)}$

$=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }-\frac{2}{x}=\frac{-2}{1}=-2$.

Vì $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\ne \underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ nên không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

Ta có ${y}^{'}=({x}^{3}-2{x}^{2}+1{)}^{'}=3{x}^{2}-2.2x=3{x}^{2}-4x$.

a) Gọi d$_{1}$ là tiếp tuyến cần tìm của (C) và M$_{0}$(x$_{0}$; y$_{0}$) là tiếp điểm của (C) và d$_{1}$.

Vì d$_{1}$ song song với đường thẳng y = −x + 2 nên ${y}^{'}({x}_{0})=-1$.

Suy ra $3{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}=-1\Leftrightarrow 3{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+1=0\Leftrightarrow {x}_{0}=1$ hoặc ${x}_{0}=\frac{1}{3}$.

− Với ${x}_{0}=1$, phương trình tiếp tuyến tại điểm ${M}_{0}(1;0)$ có hệ số góc ${y}^{'}(1)=-1$ là:

$y-{y}_{0}={y}^{'}({x}_{0})(x-{x}_{0})$

$\Leftrightarrow y-0=-1(x-1)\Leftrightarrow y=-x+1$.

− Với ${x}_{0}=\frac{1}{3}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm ${M}_{0}(\frac{1}{3};\frac{22}{27})$ có hệ số góc ${y}^{'}(\frac{1}{3})=-1$ là:

$y-y(\frac{1}{3})={y}^{'}(\frac{1}{3})(x-\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y-\frac{22}{27}=-1(x-\frac{1}{3})$

$\Leftrightarrow y=-x+\frac{31}{27}$

Vậy tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = −x + 2 là: ${d}_{1}:y=-x+1$ và ${d}_{2}:y=-x+\frac{31}{27}$.

Ta có ${s}^{'}(t)={(2{t}^{2}+5t+2)}^{'}=2.2t+5=4t+5$.

Vận tốc tức thời tại điểm t = 4 là ${s}^{'}(4)=4.4+5=21$ .