Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Đáp án đúng là: B

Biểu thức $\sqrt {1 + \cos 2x}$ có nghĩa khi 1 + cos 2x ≥ 0.

Mà cos 2x ∈ [– 1; 1] nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số $y = \sqrt {1 + \cos 2x}$ xác định với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số mọi x ∈ ℝ là D = ℝ.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \sin x}}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \sin x}} \ge 0\\1 + \sin x \ne 0\end{array} \right.$.

Do cos x ∈ [– 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Và sin x ∈ [– 1; 1] nên 1 + sin x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó để $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \sin x}} \ge 0\\1 + \sin x \ne 0\end{array} \right.$ thì 1 + sin x ≠ 0 hay sin x ≠ – 1, khi đó $x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \sin x}}}$ là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Biểu thức $\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}$ có nghĩa khi cos x ≠ 0 hay $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}$ là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \tan x + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}}$ xác định khi tan x và cot x xác định (do 1 + cot$^{2}$ x > 0 với mọi x khi cot x xác định).

Mà tan x xác định khi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$, cot x xác định khi x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Do đó hàm số $y = \tan x + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}}$ xác định khi $x \ne k\frac{\pi }{2},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan x + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}}$ là D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số y = – 2sin x, ta có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = – 2sin(– x) = – 2 . (– sin x) = 2 sin x = – f(x).

Do đó, hàm số y = – 2sin x là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số y = cos x + 5, ta có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = cos(– x) + 5 = cos x + 5 = f(x).

Do đó, hàm số y = cos x + 5 là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π).

Do đó hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π).

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} + \pi ;\,\frac{\pi }{2} + \pi } \right)$.

Do hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( {\frac{{11\pi }}{2};\,\frac{{13\pi }}{2}} \right)$$= \left( { - \frac{\pi }{2} + 6\pi ;\,\frac{\pi }{2} + 6\pi } \right)$.

Do hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{{11\pi }}{2};\,\frac{{13\pi }}{2}} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = cos x trên [− π; 2π] và đường thẳng y = $\frac{1}{3}$.

Ta thấy đường thẳng y = $\frac{1}{3}$ cắt đồ thị hàm số y = cos x trên [− π; 2π] tại 3 điểm.

Khi đó có 3 giá trị của x ∈ [− π; 2π] để $\cos x = \frac{1}{3}$ hay có 3 giá trị của α ∈ [− π; 2π] để $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Vì sin 3x ∈ [− 1; 1] nên 1 + sin 3x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó biểu thức $\sqrt {1 + \sin 3x}$ có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt {1 + \sin 3x}$ là D = ℝ.

Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Nên biểu thức $\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}$ có nghĩa khi 1 – cos x ≠ 0 hay cos x ≠ 1, tức là x ≠ k2π, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 - \cos x} }}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Biểu thức $\frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}$ có nghĩa khi $\left\{ \begin{array}{l}1 + \cos 2x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right.$.

Mà cos 2x ∈ [− 1; 1] nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Và sin x ≠ 0 khi $x \ne k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{{\sqrt {1 + \cos 2x} }}{{\sin x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Biểu thức $\frac{1}{{\sin x + \cos x}}$ có nghĩa khi sin x + cos x ≠ 0

⇔ sin x ≠ – cos x ⇔ tan x ≠ – 1.

Mà tan x ≠ – 1 khi $x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Ta có: 1 + sin x cos x = $1 + \frac{{\sin 2x}}{2}$.

Vì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1 nên $\frac{1}{2} \le 1 + \frac{{\sin 2x}}{2} \le \frac{3}{2}$ với mọi x ∈ ℝ.

Do đó 1 + sin x cos x > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Khi đó biểu thức $\frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}$ có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{1 + \sin x\cos x}}$ là D = ℝ.

Biểu thức $\sqrt {\cos x - 1}$ có nghĩa khi cos x – 1 ≥ 0 hay cos x ≥ 1.

Mà cos x ∈ [− 1; 1] với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, biểu thức $\sqrt {\cos x - 1}$ có nghĩa khi cos x = 1, tức là x = k2π, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt {\cos x - 1}$ là D = {k2π| k ∈ ℤ}.

Hàm số y = sin 2x có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– 2x) = – sin 2x = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ.

Hàm số y = |sin x| có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = |sin(– x)| = |– sin x| = |sin x| = f(x).

Do đó, hàm số y = |sin x| là hàm số chẵn.

Hàm số y = tan$^{2}$ x có:

+ Tập xác định: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan$^{2}$ (– x) = (– tan x)$^{2}$ = tan$^{2}$ x = f(x).

Do đó, hàm số y = tan$^{2}$ x là hàm số chẵn.

Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Hàm số $y = \sqrt {1 - \cos x}$ có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và $f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)$.

Do đó, hàm số $y = \sqrt {1 - \cos x}$ là hàm số chẵn.

Hàm số y = tan x + cot x có:

+ Tập xác định: D = $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan(– x) + cot(– x) = – tan x – cot x = – (tan x + cot x) = – f(x).

Do đó, hàm số y = tan x + cot x là hàm số lẻ.

Hàm số y = sin x . cos 3x có:

+ Tập xác định: D = ℝ.

+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– x) . cos(– 3x) = – sin x . cos 3x = – f(x).

Do đó, hàm số y = sin x . cos 3x là hàm số lẻ.

y = 3sin x + 5

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 2 ≤ 3sin x + 5 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi sin x = 1 hay $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi sin x = − 1 hay $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$y = \sqrt {1 + \cos 2x} + 3$

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cos 2x ≤ 2. (*)

Do đó, tập xác định của hàm số là ℝ.

Từ (*) suy ra $0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2$ ∀x ∈ ℝ. Do đó $3 \le \sqrt {1 + \cos 2x} + 3 \le 3 + \sqrt 2$ ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng $3 + \sqrt 2$ khi cos 2x = 1 hay x = kπ (k ∈ ℤ); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi cos 2x = − 1 hay $x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Ta có: y = 4 – 2sin x cos x = 4 – sin 2x.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin 2x ≤ 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi sin 2x = − 1 hay $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi sin 2x = 1 hay $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$y = \frac{1}{{4 - \sin x}}$

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin x ≤ 5. Suy ra $\frac{1}{3} \ge \frac{1}{{4 - \sin x}} \ge \frac{1}{5}$.

Khi đó $\frac{1}{5} \le y \le \frac{1}{3}$ ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi sin x = 1 hay $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi sin x = − 1 hay $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

+ Ta có: $\left( { - \frac{{19\pi }}{2};\, - \frac{{17\pi }}{2}} \right)$$= \left( {\frac{\pi }{2} - 10\pi ;\,\frac{{3\pi }}{2} - 10\pi } \right)$.

Do hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{{19\pi }}{2};\, - \frac{{17\pi }}{2}} \right)$.

+ Ta có: $\,\left( { - \frac{{13\pi }}{2};\, - \frac{{11\pi }}{2}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{2} - 6\pi ;\,\frac{\pi }{2} - 6\pi } \right)$.

Do hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng $\,\left( { - \frac{{13\pi }}{2};\, - \frac{{11\pi }}{2}} \right)$.

+ Ta có: (19π; 20π) = (– π + 20π; 0 + 20π).

Do hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng (19π; 20π).

+ Ta có: (– 30π; – 29π) = (0 – 30π; π – 30π).

Do hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π) nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng (– 30π; – 29π).

Xét đồ thị hàm số y = cos x:

Trên đoạn [ – 5π; 0], hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 1 với x ∈ {– 4π; – 2π; 0}.

Vậy có 3 giá trị của x trên đoạn [ – 5π; 0] để cos x = 1.

Xét đồ thị hàm số y = cos x:

Trên khoảng $\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right)$, hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 0 với $x \in \left\{ { - \frac{{7\pi }}{2};\, - \frac{{5\pi }}{2}} \right\}.$

Vậy có 2 giá trị của x trên khoảng $\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{3\pi }}{2}} \right)$ để cos x = 0.

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = $\frac{1}{2}$.

Giá trị của x để sin x = $\frac{1}{2}$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = $\frac{1}{2}$.

Dựa vào đồ thị, ta có sin x = $\frac{1}{2}$ khi $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi$ và $x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi$ với k ∈ ℤ.

Xét đồ thị hàm số y = sin x:

Hàm số y = sin x nhận giá trị dương tương ứng với phần đồ thị hàm số đó nằm phía trên trục hoành. Dựa vào đồ thị ở hình vẽ trên, ta suy ra hàm số y = sin x nhận giá trị dương khi x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ ℤ.

Khi t = 0 thì $h\left( 0 \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}.0 - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5 = 57\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5 = 0{,}5$ (m).

Vậy khi đó khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng 0,5 m.

+ Khi quay một vòng, cabin ở vị trí cao nhất khi h(t) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $h\left( t \right) = 57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5$

Với mọi t ≥ 0 thì $- 1 \le \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) \le 1$, do đó h(t) đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 1$ hay t = 7,5 (phút).

Vậy khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm t = 7,5 phút thì cabin ở vị trí cao nhất.

+ Ta có cabin đạt được chiều cao là 86 m khi h(t) = 86 hay $57\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) + 57{,}5 = 86$, tức là $\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}$ hay t = 5 (phút).

Vậy cabin đạt được chiều cao là 86 m lần đầu tiên khi t = 5 (phút).