Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2. Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất có đáp án

a) Đáp án đúng là: C

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 5”, hay biến cố C là biến cố hợp của biến cố A và biến cố B.

b) Đáp án đúng là: B

Biến cố giao của hai biến cố A và B là “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5”, hay biến cố D là biến cố giao của biến cố A và biến cố B.

Ta thấy, nếu biến cố M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3” xảy ra thì biến cố P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3” không xảy ra và ngược lại, nếu biến cố P xảy ra thì biến cố M không xảy ra.

Hay M ∩ P = ∅ nên biến cố M và biến cố P là xung khắc.

a) Ta thấy: Nếu biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3” xảy ra thì biến cố D: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 3” không xảy ra và ngược lại, nếu biến cố D xảy ra thì biến cố A không xảy ra.

Hay A ∩ D = ∅ nên biến cố A và biến cố D là xung khắc.

b) Vì các lần gieo là độc lập, nên việc xảy ra của biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 3” không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 3” nên biến cố A và biến cố B là hai biến cố độc lập.

Tương tự ta có hai cặp biến cố độc lập khác là: A và C, B và C.

a) Kí hiệu: S là mặt sấp, N là mặt ngửa.

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp hai lần”. Khi đó Ω = {SS; SN; NS; NN}.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: A = {SS; SN; NS};

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: B = {NS; SN; NN}.

b) Các kết quả thuận lợi của biến cố A ∪ B là {SS; SN; NS; NN};

Các kết quả thuận lợi của biến cố A ∩ B là {SN; NS}.

c) Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 4;

Ta có n(A) = 3, n(B) = 3, n(A ∪ B) = 4, n(A ∩ B) = 2.

Suy ra:

⦁ $P(A)=\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{3}{4};P(B)=\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{3}{4};$

⦁ $P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{n(Ω)}=\frac{4}{4}=1;$

⦁ $P(A\cap B)=\frac{n(A\cap B)}{n(Ω)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$

Vì A ∩ B ≠ ∅ (do $P(A\cap B)=\frac{1}{2}$) nên biến cố A và biến cố B không là hai biến cố xung khắc.

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B) (do $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$) nên biến cố A và biến cố B không là hai biến cố độc lập.

Ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Nên P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.

Suy ra A ∩ B ≠ ∅. Vậy A và B không là hai biến cố xung khắc.

Ta có: 0,1 ≠ 0,3 . 0,4 hay P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

Vậy A và B không là hai biến cố độc lập.

a) Số phần tử của không gian mẫu Ω là: n(Ω) = 6.6 = 36.

b) Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là 2”.

Lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện là 2, có 1 cách.

Lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện có thể là 1; 2; 3; 4; 5; 6. Do đó có 6 cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 1.6 = 6.

Suy ra: $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Tương tự, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = 6.1 = 6.

Suy ra: $P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Ta thấy: Vì hai lần gieo liên tiếp là độc lập nên xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra là $\frac{1}{6}.$ xác suất của biến cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng $\frac{1}{6}.$

Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hướng đến xác suất của biến cố B. Tương tự, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B không làm ảnh hướng đến xác suất của biến cố A. Vì vậy, hai biến cố A và B là độc lập.

Vậy $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$

Ta có:

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}2=0{,}8;$

$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}3=0{,}7.$

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố sau cũng độc lập: $\overline{A}$ và B, A và $\overline{B},$ $\overline{A}$ và $\overline{B},$ Suy ra:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0{,}2\cdot 0{,}3=0{,}06;$

$P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P(B)=0{,}8\cdot 0{,}3=0{,}24;$

$P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B})=0{,}2\cdot 0{,}7=0{,}14;$

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0{,}8\cdot 0{,}7=0{,}56.$

Xét các biến cố A: “Bệnh nhân thứ nhất bị biến chứng nặng” và B: “Bệnh nhân thứ hai bị biến chứng nặng”. Khi đó P(A) = 0,2 và P(B) = 0,25.

Biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}:$ “Bệnh nhân thứ nhất không bị biến chứng nặng”.

Suy ra $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}2=0{,}8.$

Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}:$ “Bệnh nhân thứ hai không bị biến chứng nặng”.

Suy ra $P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}25=0{,}75.$

Từ giả thiết, ta có hai biến A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và B; A và $\overline{B};$ $\overline{A}$và $\overline{B};$ là các cặp biến cố độc lập.

a) Ta có M = A ∩ B nên P(M) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,2 . 0,25 = 0,05.

b) Do $\overline{A},$ B là hai biến cố độc lập và $N=\overline{A}\cap B$

Nên $P(N)=P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P(B)=0{,}8\cdot 0{,}25=0{,}2.$

c) Do A, $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập và $Q=A\cap \overline{B}$

Nên $P(Q)=P(A\cap \overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B})=0{,}2\cdot 0{,}75=0{,}15.$

d) Do $\overline{A},$ $\overline{B},$ là hai biến cố độc lập và $R=\overline{A}\cap \overline{B}$

Nên $P(R)=P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0{,}8\cdot 0{,}75=0{,}6.$

e) Ta thấy S là biến cố đối của biến cố R, nên P(S) = 1 – P(R) = 1 – 0,6 = 0,4.

Mỗi cách chọn 1 học sinh từ 40 học sinh trong lớp cho ta một tổ hợp chập 1 của 40 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 1 của 40 phần tử và $n(Ω)={C}_{40}^{1}=40.$

a) Xét biến cố A: “Học sinh được chọn thích chơi cầu lông”.

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n(A)={C}_{25}^{1}=25.$

Xác suất của biến cố A là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}.$

b) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $n(B)={C}_{20}^{1}=20.$

Xác suất của biến cố B là: $P(B)=\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}.$

c) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là $n(C)={C}_{12}^{1}=12.$

Xác suất của biến cố C là: $P(C)=\frac{n(C)}{n(Ω)}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}.$

d) Ta thấy D = A ∪ B và C = A ∩ B nên ta có:

$P(D)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$=P(A)+P(B)-P(C)=\frac{5}{8}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{33}{40}.$

Xét các biến cố A: “Van I hoạt động tốt” và B: “Van II hoạt động tốt”.

Từ giả thiết, suy ra A, B là hai biến cố độc lập và P(A) = 0,8; P(B) = 0,6.

Suy ra: P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,8 . 0,6 = 0,48.

Xét biến cố C: “Nồi cơm điện hoạt động an toàn”.

Theo đề bài, nồi cơm điện hoạt động an toàn khi có ít nhất một van hoạt động tốt hay C = A ∪ B.

Xác suất nồi cơm điện hoạt động an toàn là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,8 + 0,6 – 0,48 = 0,92.

Xét các biến cố M: “Xạ thủ A bắn trúng mục tiêu” và N: “Xạ thủ B bắn trúng mục tiêu”.

Từ giả thiết, ta có M, N là hai biến cố độc lập và P(M) = 0,6; P(N) = 0,65.

Xét các biến cố đối:

$\overline{A}:$ “Xạ thủ A không bắn trúng mục tiêu”;

$\overline{B}:$ “Xạ thủ A không bắn trúng mục tiêu”;

$\overline{C}:$ “Mục tiêu không bị hạ”.

Khi đó $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}6=0{,}4;$

$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0{,}65=0{,}35;$

$\overline{D}=\overline{A}\cap \overline{B}$ và $\overline{A},\ \overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Do đó $P(\overline{D})=P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})=0{,}4\cdot 0{,}35=0{,}14.$

Suy ra: $P(D)=1-P(\overline{D})=1-0{,}14=0{,}86.$

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 21 số nguyên dương cho ta một tổ hợp chập 2 của 21 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 2 của 21 phần tử và $n(Ω)={C}_{21}^{2}=210.$

a) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 10 số chẵn là: 2; 4; …; 20.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n(A)={C}_{10}^{2}=45.$

Xác suất của biến cố A là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{45}{210}=\frac{3}{14}.$

b) Ta thấy trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ là 1; 3; 5; …; 21.

Suy ra số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là $n(B)={C}_{11}^{2}=55.$

Xác suất của biến cố B là: $P(B)=\frac{n(B)}{n(Ω)}=\frac{55}{210}=\frac{11}{42}.$

c) Tổng của hai số được chọn là số chẵn khi hai số đó phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ hay C = A ∪ B.

Ta có: A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc.

Suy ra: $P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{3}{14}+\frac{11}{42}=\frac{10}{21}.$

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ 10 + 18 = 28 sản phẩm trong hộp cho ta một tổ hợp chập 3 của 28 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 28 phần tử và $n(Ω)={C}_{28}^{3}=3\ 276.$

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A:

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n(A)={C}_{10}^{2}\cdot 18+{C}_{18}^{2}\cdot 10=2\ 340.$

Xác suất của biến cố A là $P(A)=\frac{n(A)}{n(Ω)}=\frac{2\ 340}{3\ 276}=\frac{5}{7}.$