Giải SBT Toán 10 CD Bài tập cuối chương 4 có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là C

Ta có: (sinα . cotα)$^{2}$ + (cosα . tanα)$^{2}$

= (sinα.$\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }}$)$^{2}$ + (cosα.$\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{cos\alpha }}$)$^{2}$

= cos$^{2}$α + sin$^{2}$α

= 1.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Với $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$ ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)$

$= \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)$

$= \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0$

Lời giải

Đáp án đúng là C

tanα . tan(90°– α)

= tanα . cotα

= 1.

Lời giải

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$

⇔ ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1$

⇔ $co{s^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}$

⇔ $co{s^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

⇔ $cos\alpha = \frac{4}{5}$ hoặc $cos\alpha = - \frac{4}{5}$

Vì 0° < α < 90° nên $cos\alpha = \frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $\frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $- \frac{4}{5}$.

Lời giải

Vì 90° < α < 180° nên $cos\alpha = - \frac{4}{5}$

⇒ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}$

⇒ $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{4}{3}$

Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:

sin(90° – α) = cosα = $- \frac{4}{5}$;

cos(90° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

sin(180° – α) = sinα = $\frac{3}{5}$;

cos(180° – α) = –cosα = $- \left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{4}{5}$.

Lời giải

Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

Xét tam giác ABC, có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AB.AC.cos$\widehat {BAC}$

= 4$^{2}$ + 6$^{2}$ – 2.4.6.cos60°

= 4$^{2}$ + 6$^{2}$ – 24

= 28

⇔ BC = $\sqrt {28}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$

⇔ $\sin B = \frac{{6.\sin 60^\circ }}{{\sqrt {28} }} \approx 0{,}98$

⇔ $\widehat B \approx 79^\circ$.

Vậy BC = $\sqrt {28}$ và $\widehat B \approx 79^\circ$.

Lời giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

⇔ $R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {28} }}{{2\sin 60^\circ }} \approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3.

Lời giải

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta được:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4.6.\sin 60^\circ = 6\sqrt 3$ (đvdt)

Vậy diện tích của tam giác ABC là $6\sqrt 3$ (đvdt).

Lời giải

Gọi AH là đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A

Ngoài ra diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH$

Theo ý c) ta tính được diện tích tam giác là $6\sqrt 3$

Do đó ta có: $\frac{1}{2}.\sqrt {28} .AH = 6\sqrt 3$

⇔ $AH = \frac{{2.6\sqrt 3 }}{{\sqrt {28} }} \approx 4$

Vậy độ dài đường cao xuất phát từ A là 4.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.6.\cos 60^\circ = 12.$

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

Khi đó: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}.{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 12$ và $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} = 24$.

Lời giải

Ta có: $\frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} - {{\overrightarrow {AC} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right]$

$= \frac{1}{2}.2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$.

Lời giải

Xét tam giác ABC, có:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta được:

${\rm{cos}}\widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}$

Ta có: ${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} + {\sin ^2}\widehat {ABC} = 1$

⇔ ${\sin ^2}\widehat {ABC} = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {ABC} = 1 - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = \frac{{24}}{{25}}$

Vì $\widehat {ABC}$ là góc trong tam giác nên $0^\circ < \widehat {ABC} < 180^\circ$

⇒ $\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$.

Vậy $\sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}$.

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $6\sqrt 6 .$

Lời giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.6 = 3.

Xét tam giác ABM:

Áp dụng định lí cos, ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ – 2.AM.BM.cosB

⇔ AM$^{2}$ = 5$^{2}$ + 3$^{2}$ – 2.5.3.$\frac{1}{5}$

⇔ AM$^{2}$ = 28

⇔ AM = $2\sqrt 7$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM là $2\sqrt 7$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Xét vế phải của đẳng thức ta có:

$\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA} - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)$

$$= \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB}$$

$$= \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {OI} } \right) + \left( {\frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {IA} - \frac{k}{{1 - k}}\overrightarrow {IB} } \right)$$

$$= \overrightarrow {OI} \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right) + \frac{1}{{1 - k}}\left( {\overrightarrow {IA} - k\overrightarrow {IB} } \right)$$

$$= \overrightarrow {OI} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow 0$$

$= \overrightarrow {OI}$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.5.c{\rm{os120}}^\circ = - 10$

Ta lại có: $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

Và $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC}$

⇒$\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} } \right)$

⇔ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}{\overrightarrow {AC} ^2}$

⇔ $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}( - 10) - \frac{1}{2}( - 10) + \frac{1}{5}{.5^2} = 0$

Suy ra AM vuông góc BD.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = - 10$ và AM vuông góc BD.

Lời giải

Kẻ CH vuông góc với bờ AB.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$

⇒ $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 115^\circ } \right) = 30^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta được:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {CAB}}}$

⇔$\frac{{50}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 35^\circ }}$

⇔$BC = \frac{{50\sin 35^\circ }}{{\sin 30^\circ }} \approx 57{,}36$

Xét tam giác CHB vuông tại B, có:

$\sin \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow CH = \sin \widehat {CBH}.BC \approx \sin 65^\circ .57{,}36 \approx 51{,}98$.

Vậy độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát khoảng 51,98 mét.

Lời giải

$\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\overrightarrow a ^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b - 2{\overrightarrow b ^2}$

$= 2{\overrightarrow a ^2} + 3\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) - 2{\overrightarrow b ^2}$

$= {2.4^2} + 3.4.5.cos135^\circ - {2.5^2} = - 18 - 30\sqrt 2$

Lời giải

${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b$.

Lời giải

Áp dụng công thức trên ta được:

${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b$

⇔ ${\sqrt 7 ^2} = {2^2} + {3^2} + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b$

⇔ $7 = 4 + 9 + 2.\overrightarrow a .\overrightarrow b$

⇔ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3$

Mặt khác ta lại có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)$

⇔ $- 3 = 2.3.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)$

⇔ $c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{2}$

⇔ $\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Vậy $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 3$ và $\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB}$

= $\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB}$

= $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB}$

= $\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right)$

= 0

Lời giải

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0$

⇒ $\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0$

⇔$\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0$

⇔$\left( {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {2\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0$

⇔$4\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0$

⇔ $\widehat {{\rm{IMJ}}} = 90^\circ$

Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

Lời giải

Xét biểu thức $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC}$

$$= 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$$

$$= 3\overrightarrow {MG}$$

⇒$\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right|$

Do đó để biểu thức $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\left| {3\overrightarrow {MG} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất và MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.

Vậy để $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm M là hình chiếu vuông góc của G trên đường thẳng d.