Giải SBT Toán 10 CD Bài 5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là D

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$là tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thỏa mãn bất phương trình f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

Lời giải

Đáp án đúng là B.

Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {f(x)} = g(x)$ là tập nghiệm của phương trình f(x) = [g(x)]$^{2}$ thỏa mãn bất phương trình g(x) ≥ 0.

Lời giải

Xét phương trình $\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$(*)

Điều kiện tồn tại căn thức là: f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0

Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được: f(x) = g(x).

Do đó ta chỉ cần hoặc f(x) ≥ 0 hoặc g(x) ≥ 0 là đủ.

Lời giải

Xét $\sqrt {f(x)} = g(x)$ (**)

Điều kiện của phương trình gồm:

+) Điều kiện tồn tại của căn thức là f(x) ≥ 0

+) Vì $\sqrt {f(x)}$ ≥ 0 nên g(x) ≥ 0.

Bình phương 2 vế của phương trình (**) là: f(x) = [g(x)]$^{2}$≥ 0

Do đó trong hai điều kiện ta chỉ cần g(x) ≥ 0.

Lời giải

$\sqrt { - 4x + 4} = \sqrt { - {x^2} + 1}$ (1)

Điều kiện – 4x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1

(1) ⇔ – 4x + 4 = – x$^{2}$ + 1

⇔ x$^{2}$ – 4x + 3 = 0

⇔ x = 3 (không thỏa mãn) và x = 1 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.

Lời giải

$\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3}$

Điều kiện x$^{2}$ – 3 ≥ 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \le - \sqrt 3 \\x \ge \sqrt 3 \end{array} \right.$

(1) ⇔ 3x$^{2}$ – 6x + 1 = x$^{2}$ – 3

⇔ 2x$^{2}$ – 6x + 4 = 0

⇔ x = 2 (thỏa mãn) và x = 1 (không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Lời giải

$\sqrt {2x - 1} = 3x - 4$

Điều kiện 3x – 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{4}{3}$

(1) ⇔ 2x – 1 = 9x$^{2}$ – 24x + 16

⇔ 9x$^{2}$ – 26x + 17 = 0

⇔ x = 1 (không thỏa mãn) và x = $\frac{{17}}{9}$(thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{{17}}{9}$.

Lời giải

$\sqrt { - 2{x^2} + x + 7} = x - 3$

Điều kiện x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3

(1) ⇔ – 2x$^{2}$+ x + 7 = x – 3

⇔ – 2x$^{2}$+ 10 = 0

⇔ x$^{2}$= 5

⇔ x = $\sqrt 5$(không thỏa mãn) và x = $- \sqrt 5$(không thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x ∈ $\emptyset$.

Lời giải

$\sqrt {7 - 2x} + x = 2$

⇔ $\sqrt {7 - 2x} = 2 - x$

Điều kiện 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2

⇔ 7 – 2x = 4 – 4x + x$^{2}$

⇔ x$^{2}$ – 2x – 3 = 0

⇔ x = – 1 (thỏa mãn) hoặc x = 3 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = – 1.

Lời giải

$\sqrt { - 2{x^2} + 7x + 1} + 3x = 7$.

⇔ $\sqrt { - 2{x^2} + 7x + 1} = 7 - 3x$

Điều kiện 7 – 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{7}{3}$

⇔ – 2x$^{2}$ + 7x + 1 = 49 – 42x + 9x$^{2}$

⇔ 11x$^{2}$ – 49x + 48 = 0

⇔ x = 3 (không thỏa mãn) hoặc x = $\frac{{16}}{{11}}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{{16}}{{11}}$.

Lời giải

+) Hình 21a):

Đặt AC = x (m). Khi đó AB = x + 2

Xét tam giác ABC vuông tại C, có AC = x, AB = x + 2

Áp dụng định lí py – ta – go ta được:

AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$

⇔ (x + 2)$^{2}$ = x$^{2}$ + BC$^{2}$

⇔ BC$^{2}$ = (x + 2)$^{2}$ – x$^{2}$

⇔ BC$^{2}$ = 4x + 4

⇔ BC = $\sqrt {4x + 4}$

AC là chiều cao của bức tường nên AC = DG = x.

⇒ DG = BC – 1 = $\sqrt {4x + 4}$ - 1

Xét tam giác DGE vuông tại G, có:

tanE = $\frac{{DG}}{{GE}}$

⇔ tan45° = $= \frac{x}{{\sqrt {4x + 4} - 1}}$

⇔ 1 = $= \frac{x}{{\sqrt {4x + 4} - 1}}$

⇔ $\sqrt {4x + 4}$ – 1 = x

⇔ $\sqrt {4x + 4}$ = x + 1 (điều kiện x ≥ – 1)

⇔ x$^{2}$ + 2x + 1 = 4x + 4

⇔ x$^{2}$ – 2x – 3 = 0

⇔ x = 3 (thỏa mãn) và x = – 1 (không thỏa mãn)

Vậy bức tường cao 3 m.

Lời giải

Đặt CH = x (x ≥ 0). Khi đó BC = 1 400 – x.

Xét tam giác AHC vuông tại H, có:

AH$^{2}$ + HC$^{2}$ = AC$^{2}$

⇔ AC$^{2}$ = 300$^{2}$ + x$^{2}$

⇔ AC = $\sqrt {{x^2} + 90\,000}$

Thời gian thuyền đi từ A đến C là: $\frac{{\sqrt {{x^2} + 90\,000} }}{3}$ (giờ)

Thời gian người đi bộ đi từ B đến C là $\frac{{1\,400 - x}}{6}$ (giờ)

Để hai người đến cùng lúc thì mỗi người cùng di chuyển về vị trí C nên ta có:

$\frac{{\sqrt {{x^2} + 90\,000} }}{3} = \,\frac{{1\,400 - x}}{6}$

⇔ $2\sqrt {{x^2} + 90\,000} = \,1400 - x$ (điều kiện x ≤ 1 400)

⇔ 4(x$^{2}$ + 90 000) = 1 960 000 – 2 800x + x$^{2}$

⇔ 3x$^{2}$ + 2 800x – 1 600 000 = 0

⇔ x = 400 (TMĐK) hoặc x = $- \frac{{4000}}{3}$ (không TMĐK)

⇒ CB = 1 400 – x = 1 400 – 400 = 1 000 (m).

Vậy khoảng cách CB = 1 000 m.

Lời giải

Đổi 1 000 m = 1km.

Thời gian hai nguời xuất phát cho tới khi gặp nhau là: $\frac{1}{6}$(giờ)

Vậy từ khi xuất phát hai người mất $\frac{1}{6}$ giờ cho đến khi gặp nhau.

Lời giải

Đặt tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là ABCD.

Vì ABCD nội tiếp hình tròn nên AC là đường kính. Do đó AC = 50 m.

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m) (x > 0).

Khi đó AB = DC = x(m)

Xét tam giác ABC vuông tại B, có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ (định lý py – ta – go)

⇔ 50$^{2}$ = x$^{2}$ + BC$^{2}$

⇔ BC$^{2}$ = 2 500 – x$^{2}$

⇔ BC = $\sqrt {2500 - {x^2}}$

Tổng quãng đường đi xung quanh vườn chính là chu vi hình chữ nhật và bằng 140m, nên ta có: 2(x + $\sqrt {2500 - {x^2}}$) = 140

⇔ $\sqrt {2500 - {x^2}}$ = 70 – x (điều kiện x ≤ 70)

⇔ 2 500 – x$^{2}$ = 4 900 – 140x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ – 140x + 2 400 = 0

⇔ x = 40 (TM) hoặc x = 30 (TM)

Nếu một cạnh bằng 40m thì cạnh còn lại là 30m, nếu một cạnh bằng 30m thì cạnh còn lại là 40m.

Vậy kích thước của hình chữ nhật là 40m và 30m.