Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 5 có đáp án

Đáp án đúng là A

$|\overrightarrow{\text{AC}}|$ = AC = $\sqrt{{\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{BC}}^{\text{2}}}$ = $\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$= 5.

Chọn đáp án A.

Đáp án đúng là A

Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{\text{OC}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{ED}$.

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án đúng là C

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}=\overrightarrow{\text{CB}}$.

Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định A, B, D sai.

Đáp án đúng là C

I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{IA}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$ = 0 hay $\overrightarrow{\text{IA}}=-\overrightarrow{IB}$.

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\overrightarrow{\text{GA}}=-2\overrightarrow{\text{GI}}$. Khẳng định A sai.

$\overrightarrow{\text{IG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{IA}}$. Khẳng định B sai.

I là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}=2\overrightarrow{\text{GI}}=-\overrightarrow{\text{GA}}$. Khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Đáp án đúng là A

Ta có:

$\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ = 2$\overrightarrow{BC}$ ( vì $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{CD}$ = 0 ). Vậy khẳng định A đúng. Khẳng định C sai.

Ta có: $\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{\text{AB}}$. Do đó khẳng định B sai.

Ta lại có: $\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CD}}=2\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CD}}\ne \overrightarrow{\text{CD}}$. Do đó khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là C

Ta có thể thấy:

$-10\overrightarrow{\text{a}}-2\overrightarrow{\text{b}}$ = – 2 . ( $5\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}$ ).

Như vậy $5\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}$ và $-10\overrightarrow{\text{a}}-2\overrightarrow{\text{b}}$ là cặp vectơ cùng phương.

Ta có: $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}})=(-\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})=-(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ABC}}$

⇒ $(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}})$ = 180° – 50° = 130°. Khẳng định A đúng.

$(\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{AC}})$ = $(\overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{CA}})$ = $\widehat{\text{ACB}}$ = 90° – 50° = 40°. Khẳng định B đúng.

$(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CB}})$ = $(\overrightarrow{\text{BA}},\overrightarrow{\text{BC}})$ = $\widehat{\text{ABC}}$ = 50°. Khẳng định C đúng.

$(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}})=(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})=-(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})$ là góc kề bù với $\widehat{\text{ACB}}$

⇒ $(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}})$ = 180° – 40° = 140°. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Đáp án đúng là A

Ta có:

$\overrightarrow{\text{a}}\text{.}\overrightarrow{\text{b}}=\overrightarrow{|\text{a}|}\text{.}\overrightarrow{|\text{b}|}.\cos (\overrightarrow{\text{a}},\overrightarrow{\text{b}})$

Do $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{b}$ nên $\cos (\overrightarrow{\text{a}},\overrightarrow{\text{b}})$ = cos0° = 1.

Vậy $\overrightarrow{\text{a}}\text{.}\overrightarrow{\text{b}}=\overrightarrow{|\text{a}|}\text{.}\overrightarrow{|\text{b}|}$. Đáp án A đúng

Đáp án đúng là D

Do AB ⊥ AC nên $\overrightarrow{\text{AB}}$. $\overrightarrow{\text{AC}}$ = 0.

Ta lại có $\overrightarrow{BA}$. $\overrightarrow{BC}$ = BA.BC.cos$\widehat{\text{B}}$> 0 (vì $\widehat{\text{B}}$ là góc nhọn nên cos$\widehat{\text{B}}$ > 0). Do đó $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}<\overrightarrow{\text{BA}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}$.

Khẳng định A đúng.

$(\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}})=(-\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})=-(\overrightarrow{\text{CA}},\overrightarrow{\text{CB}})$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}=\overrightarrow{|\text{AC}|}.|\overrightarrow{\text{CB}}|.\cos (\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}})$ < 0;

$(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC​}})$ là góc nhọn nên $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}=|\overrightarrow{\text{AC}}|.\overrightarrow{|\text{BC}|}.\cos (\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}})$ > 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}<\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}$. Khẳng định B đúng.

$(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{BC}})=(-\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}})=-(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{\text{BC}})$ là góc tù nên $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}$ < 0; $(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}})$ là góc nhọn nên $(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}})$ > 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{BC}}<\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$. Khẳng định C đúng.

$(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}})$ là góc nhọn nên $(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}})$ > 0; $(\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}})$ là góc tù nên $(\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}})$ < 0. Suy ra $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{BC}}>\overrightarrow{\text{BC}}.\overrightarrow{\text{AB}}$.

Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

Trong ba vectơ $\overrightarrow{\text{a}}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{\text{c}}$ chọn hai vectơ tùy ý:

- Nếu chúng cùng hướng thì đó là hai vectơ cần tìm.

- Nếu chúng ngược hướng thì vectơ còn lại sẽ cùng hướng với một trong hai vectơ đã chọn.

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BCB'}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BC ⊥ B’C.

H là trực tâm tam giác ABC nên BC ⊥ AH.

Suy ra AH // B’C ( do đều vuông góc với BC ).

Do BB’ là đường kính nên $\widehat{\text{BAB'}}$= 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ BA ⊥ B’A.

H là trực tâm tam giác ABC nên CH ⊥ BA.

Suy ra CH // B’A ( do đều vuông góc với BA ).

Như vậy AB’CH là hình bình hành ( DHNB hình bình hành )

⇒ $\overrightarrow{\text{AH}}$ = $\overrightarrow{\text{B'C}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AB}'}$ = $\overrightarrow{HC}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{AH}}$ = $\overrightarrow{\text{B'C}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AB}'}$ = $\overrightarrow{HC}$.

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho $\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{b}$. Ta có $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{\text{a}}$+$\overrightarrow{b}$.

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$|\text{OA}-\text{AB}|$ ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra $\overrightarrow{|\text{a}|}-\overrightarrow{|\text{b}|}<|\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}|<\overrightarrow{|\text{a}|}+\overrightarrow{|\text{b}|}$.

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$= $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}})+(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}})$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$ và $\widehat{DOC}$ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}})$ và $(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}})$ nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$ nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$ = $\overrightarrow{0}$.

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{AC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{AM}}$ ⇒ $|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{​}|$ = 2AM

$|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}|$ = $|\overrightarrow{\text{CB}}|$ = BC

$|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{​}|$= $|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}|$⇔ 2AM = BC.

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{​}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ ⇔ $(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}})\text{​}$.$(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}})$ = $\overrightarrow{0}$

hay $(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}})\text{​}$.$(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}})$ = $\overrightarrow{0}$

Suy ra AB$^{2}$ – AC$^{2}$ = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{​}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{CA}\text{​}$ khi tam giác ABC cân tại A.

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{DB}}$ – $\overrightarrow{\text{DA}}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ $\overrightarrow{AB}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ AB // CD.

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = $\overrightarrow{0}$ nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$ = $\widehat{BOC}$= $\widehat{COB}$ = $\frac{360^{\circ}}{3}$ = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).